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LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md

@@ -0,0 +1,167 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第一章 线性方程组
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 1.1 线性方程组的消元法
+- 1.1.1 引例
+- 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法
+- 1.1.3 矩阵的初等变换
+- 1.1.4 矩阵的基本概念
+- 1.1.5 练习
+
+---
+
+### 1.1.1 引例
+
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+2x_1+x_2+x_3=4 \\
+4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11\\
+8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\
+6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30
+\end{array}\right.
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 线性方程组等价
+2. 线性方程组的三种等价变换
+3. 高斯（Gauss）消元法
+
+---
+
+### 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+2&1&1&0\\
+4&3&3&1\\
+8&7&9&5\\
+6&7&9&8
+\end{bmatrix},
+x = \begin{bmatrix}
+x_1\\
+x_2\\
+x_3\\
+x_4
+\end{bmatrix},
+b = \begin{bmatrix}
+4\\
+11\\
+29\\
+30
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+B =\left(A,b \right) =\begin{bmatrix}
+2&1&1&0&4\\
+4&3&3&1&11\\
+8&7&9&5&29\\
+6&7&9&8&30
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+==**概念：**== 
+
+1. 系数矩阵
+2. 增广矩阵
+3. 线性方程组的矩阵表示
+
+==**方法论**：== 
+1. 利用矩阵推演高斯消元法 
+
+---
+
+### 1.1.3 矩阵的初等变换
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵的初等变换
+2. 矩阵等价
+	- 矩阵行等价（线性方程组等价）
+	- 矩阵列等价
+5. 矩阵等价的性质
+
+---
+
+### 1.1.4 矩阵的基本概念
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵（Matrix）的定义
+2. 矩阵的表示
+3. 特殊矩阵
+
+
+---
+### 1.1.5 练习
+
+1. 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵
+
+$$
+\left( 1\right) 
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x_1-3x_2+4x_3=-4 \\
+3x_1-7x_2+7x_3=-8\\
+-4x_1+6x_2-x_3=7
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$$
+\left( 2\right) 
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x_1-x_3=8 \\
+2x_1+2x_2+9x_3=7\\
+x_2+5x_3=-2
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+---
+（2）如果以下矩阵为某个线性方程组的增广矩阵，试写出其对应的线性方程组。
+$$
+\left( 1\right) 
+B =\begin{bmatrix}
+2&1&-1&2\\
+3&-2&1&7\\
+1&-3&-2&-7
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+\left( 2\right) 
+B =\begin{bmatrix}
+0&1&1&1&0\\
+3&0&3&-4&7\\
+1&1&1&2&6\\
+2&3&1&3&6
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+（3）已知某个线性方程组的增广矩阵已用初等行变换化成了如下形式：
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+1&-1&0&0&4\\
+0&1&-3&0&-7\\
+0&0&1&-3&-1\\
+0&0&0&2&4
+\end{bmatrix}
+$$
+
+试进行适当的行变换并求出原方程组的解。
+
+
+

LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md

@@ -0,0 +1,161 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第一章 线性方程组
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 1.2 方程组与矩阵
+
+- 1.2.1 线性方程组的矩阵表示
+- 1.2.2 矩阵初等变换的应用
+- 1.2.3 练习
+
+---
+### 1.2.1 线性方程组的矩阵表示
+
+非齐次线性方程组：
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
+a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
+\cdots\\
+a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m 
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$Ax=b$，是否有解问题，若有解是唯一解还是无穷多解。
+
+---
+齐次线性方程组：
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
+a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\
+\cdots\\
+a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$Ax=0$，是否有非零解问题。
+
+==**概念**==：
+1. 线性方程组的分类（非齐次，齐次）
+2. 线性方程组的相容性
+
+---
+### 1.2.2 矩阵初等变换的应用
+
+（1）讨论方程组的相容性。
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+2x_1-x_2-x_3+x_4=2 \\
+x_1+x_2-2x_3+x_4=4\\
+4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4\\
+3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+---
+（2）讨论方程组的相容性。
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x_2+4x_3=-5 \\
+x_1+3x_2+5x_3=-2\\
+3x_1+7x_2+7x_3=6
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+（3）当$h$和$k$取何值时，下列方程相容。
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+2x_1-x_2=h \\
+-6x_1+3x_2=k
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+---
+==**概念：**==
+1. 行阶梯形
+2. 行最简形
+3. 线性方程组的通解
+4. 标准形
+5. 矩阵的秩
+
+
+---
+### 1.2.3 练习
+
+（1）下列矩阵哪些是行最简形，哪些不是行最简形，并将不是行最简形的矩阵采用初等行变换将其化为行最简形。
+
+$$
+\left( 1\right) 
+\begin{bmatrix}
+1&0&0&2\\
+0&1&0&3\\
+0&0&1&5
+\end{bmatrix},  
+\left( 2\right) 
+\begin{bmatrix}
+1&1&0&0\\
+0&1&1&0\\
+0&0&1&1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+\left( 3\right) 
+\begin{bmatrix}
+1&0&0&0\\
+1&1&0&0\\
+0&1&1&0\\
+0&0&1&1
+\end{bmatrix},
+\left( 4\right) 
+\begin{bmatrix}
+0&1&1&1&1\\
+0&0&2&2&2\\
+0&0&0&0&3\\
+0&0&0&0&0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+（2）指出矩阵$A=\begin{bmatrix}0&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&2&3\end{bmatrix}$的先导列和主元列。
+
+（3）主元位置上的元素就是主元。（⨉）
+
+
+==**注意**：==
+
+- 先导列，行首非零元所在列；主元列，对应行阶梯形的先导列。
+- 先导列可以相同，主元列一定不同；先导列一看便知，主元列需要计算才能确定。
+
+
+---
+==**概念**==
+1. 先导元
+2. 先导列
+3. 主元位置
+4. 主元列
+5. 主元
+

LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md

@@ -0,0 +1,86 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第一章 线性方程组
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 1.3 矩阵的秩及方程组解的判别
+
+- 1.3.1 矩阵的秩
+- 1.3.2 线性方程组解的存在性
+- 1.3.3 线性方程组的解法
+- 1.3.4 练习
+
+---
+### 1.3.1 矩阵的秩
+
+==**概念：**==
+
+1. 矩阵秩的定义
+2. 矩阵秩的性质
+
+- $A=0$，则$R(A)=0$
+- $A \sim B$，则$R(A)=R(B)$
+- $R(A_{m \times n})\leq min(m,n)$
+
+---
+### 1.3.2 线性方程组解的存在性
+
+==**定理**==：$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$有非零解的充要条件。
+
+
+==**定理**==：$n$元非齐次线性方程组$A_{m\times n}x=b$有解的充要条件。
+
+---
+### 1.3.3 线性方程组的解法
+
+==**方法论：**==
+
+1. 线性方程组的解法
+
+**Step01**：系数矩阵$A$（增广矩阵$(A,b)$）化行阶梯形。
+**Step02**：判断方程组是否有非零解$R(A)<n$（是否有解$R(A)==R(A,b)$）。
+**Step03**：Yes，化行最简形。
+**Step04**：非零行首元为1的未知量留在等号左边，其余未知量$n-r$（自由未知量）移到等号右边。
+**Step05**：写出方程组的通解，通常写成向量的形式。
+
+
+
+---
+### 1.3.4 练习
+
+（1）设矩阵$B=\begin{bmatrix}1&1&-6&-10\\2&5&a&1\\1&2&-1&-a\end{bmatrix}$的秩为2，则a为__________。
+
+（2）求下列方程组的通解。
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x_1+x_3-x_4-3x_5=0 \\
+x_1+2x_2-x_3-x_5=0\\
+4x_1+6x_2-2x_3-4x_4+3x_5=0\\
+2x_1-2x_2+4x_3-7x_4+4x_5=0
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+---
+（3）当$a,b$为何值时，非齐次线性方程组有解，并求出通解。
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a \\
+3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0\\
+x_2+2x_3+2x_4+6x_5=b\\
+5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=2
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+

LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.md

@@ -0,0 +1,170 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第二章 矩阵及其运算
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 2.1 矩阵的基本运算
+- 2.1.1 矩阵的加法
+- 2.1.2 矩阵的数乘
+- 2.1.3 矩阵的乘法
+- 2.1.4 方阵的乘幂
+- 2.1.5 方阵的迹
+- 2.1.6 矩阵的转置
+
+---
+
+### 2.1.1 矩阵的加法
+
+$$
+A = (a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}
+$$
+
+$$
+C=A+B = (c_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵加法的定义
+2. 矩阵减法的定义
+3. 矩阵加法的运算律
+
+---
+
+### 2.1.2 矩阵的数乘
+
+$$
+A = (a_{ij})_{m\times n}
+$$
+
+$$
+\lambda A = A\lambda= (\lambda a_{ij})_{m\times n}
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵数乘的定义
+2. 矩阵数乘的运算律
+3. 矩阵的线性运算
+
+---
+### 2.1.3 矩阵的乘法
+
+$$
+A = (a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}
+$$
+
+$$
+C=A\times B = (c_{ij})_{m\times n}
+$$
+
+$$
+c_{ij}=\sum^{s}_{k = 1}{a_{ik}\times b_{kj}},i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n
+$$
+
+
+
+---
+
+（1）计算$A\times B$和$B \times A$。
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+-2&4\\
+1&-2
+\end{bmatrix},
+B = \begin{bmatrix}
+2&4\\
+-3&-6
+\end{bmatrix}
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵乘法的定义
+2. 矩阵乘法的运算律
+3. 特殊的矩阵乘法
+
+---
+
+### 2.1.4 方阵的乘幂
+
+
+$$
+A^k_{n\times n} = A\times A \cdots \times A
+$$
+
+
+
+（1）计算$A^3$，其中$A= \begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&1 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。
+
+
+（2）计算$A^2$，其中$A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&0&0 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。
+
+
+---
+
+==**概念：**==
+1. 方阵乘幂的定义
+2. 方阵乘幂的性质
+3. 幂零矩阵的定义
+4. 幂等矩阵的定义
+
+
+---
+
+### 2.1.5 方阵的迹
+
+$$
+A = (a_{ij})_{n\times n}
+$$
+
+$$
+tr(A) = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} = \sum^{n}_{i=1}{a_{ii}}
+$$
+
+
+==**证明：**==$tr(AB)=tr(BA)$。
+
+==**证明：**==$tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)$。
+
+
+---
+==**概念：**==
+1. 方阵迹的定义
+2. 方阵迹的相关定理与推论
+
+
+
+---
+### 2.1.6 矩阵的转置
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+1&2&3&4\\
+4&3&2&8\\
+7&3&8&2
+\end{bmatrix},
+A^T=\begin{bmatrix}
+1&4&7\\
+2&3&3\\
+3&2&8\\
+4&8&2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 矩阵转置的定义
+2. 对称矩阵与反对称矩阵
+3. 矩阵转置的性质
+
+
+---
+==**证明：**==
+1. $(A\times B)^T=B^T\times A^T$。
+2. 对任何矩阵$A_{m\times n}$，$A^TA$与$AA^T$均为对称矩阵。
+3. 任意$n$阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
+4. 设$A,B$都是对称矩阵，证明$AB$为对称矩阵的充要条件是$AB=BA$。

LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md

@@ -0,0 +1,377 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第二章 矩阵及其运算
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 2.3 逆矩阵
+- 2.3.1 逆矩阵的概念
+- 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性
+- 2.3.3 逆矩阵的性质
+- 2.3.4 逆矩阵的求解
+- 2.3.5 练习
+
+---
+
+### 2.3.1 逆矩阵的概念
+
+
+$$
+A_{n \times n}\times B_{n \times n} = B_{n \times n} \times A_{n \times n} = E
+$$
+
+$$
+A^{-1} = B
+$$
+
+
+==**概念：**==
+1. 奇异矩阵
+2. 非奇异矩阵（可逆矩阵）
+
+---
+
+### 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性
+
+定理：逆矩阵是唯一的。
+<br>
+
+**线性方程组中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：**
+
+- 定理：若$A$可逆，则$Ax=b$只有唯一解$x=A^{-1}b$。
+- 定理：若$A$可逆，则$Ax=0$只有零解。
+
+
+---
+
+**矩阵方程中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：**
+
+- 定理：若$A$可逆，则$AX=B$只有唯一解$X=A^{-1}B$。
+- 定理：若$A$可逆，则$AX=0$只有零解。
+
+
+---
+
+**方阵$A$可逆的一组充要条件：**
+
+- 定理：$Ax=0$只有零解$\Leftrightarrow R(A)=n$。
+- 定理：$A$为方阵且$A \sim E \Leftrightarrow R(A)=n$。
+- 定理：$A$可逆$\Leftrightarrow R(A)=n$。
+<br>
+
+推论：若$AB=E$，则$A,B$均可逆，且$A^{-1}=B$，$B^{-1}=A$。
+
+---
+例题：
+
+1）设$A=\begin{bmatrix} 3&-2&0&-1\\0&2&2&1\\1&-2&-3&-2\\0&1&2&1\end{bmatrix}$，求$A$的标准型。
+
+---
+### 2.3.3 逆矩阵的性质
+
+**性质**：若$A$可逆，则$A^{-1}$可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$。
+
+**性质**：若$A$可逆，$\lambda \neq 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}$。
+
+**性质**：若$A$可逆，则$A^{T}$可逆，$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$。
+
+**性质**：若$A,B$为同阶的可逆矩阵，则$AB$也可逆且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
+
+---
+**性质**：若 $A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$不等于0，则
+
+$$A^{-1} = diag(\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\cdots,\frac{1}{\lambda_n})$$
+
+$$A^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k),k\in N$$
+
+注意：
+1. $A^0 = E$
+2. $A^{-k}=(A^{-1})^{k}$
+
+
+---
+
+例题：
+
+1）设方阵$A$满足$A^3-A^2+2A-E=0$，证明$A$及$E-A$均可逆，并求$A^{-1}$和$(E-A)^{-1}$。
+
+2）设$A,B$均为$n$阶方阵，若$E-AB$可逆，则$E-BA$也可逆，求$(E-BA)^{-1}$。
+
+
+3）设$A$为$n$阶方阵且$ABC=E$，则____。
+
+&nbsp;&nbsp;A. $ACB=E$ 
+&nbsp;&nbsp;B. $CBA=E$ 
+&nbsp;&nbsp;C. $BAC=E$
+&nbsp;&nbsp;D. $BCA=E$
+
+---
+==**概念：**==
+
+1. 逆矩阵的唯一性
+2. 逆矩阵的存在性
+3. 逆矩阵的性质
+
+
+
+
+---
+### 2.3.4 逆矩阵的求解
+
+
+（1）初等方阵的定义
+
+初等方阵
+- 对换变换：$E[i,j]$
+- 倍乘变换：$E[i(k)]$, $k$不等于0
+- 倍加变换：$E[i,j(k)]$
+
+---
+注：初等方阵是可逆的
+- $E^{-1}[i,j]=E[i,j]$
+- $E^{-1}[i(k)]=E[i(\frac{1}{k})]$，$k \neq 0$
+- $E^{-1}[i,j(k)]=E[i,j(-k)]$
+
+
+---
+例题：
+
+
+$$
+A= \begin{bmatrix}
+a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
+a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
+a_{31} & a_{32} & a_{33}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+计算：
+- $A\times E[1,3],A\times E[2(k)],A\times E[1,3(k)]$
+- $E[1,3]\times A,E[2(k)]\times A,E[1,3(k)]\times A$
+
+
+---
+
+（2）初等方阵的相关定理
+
+定理：$A_{m\times n}$，$A$左乘初等方阵，相当于实施一次初等行变换；右乘初等方阵，相当于实施一次初等列变换。
+
+定理：$A$可逆，$A$可看作有限个初等方阵的乘积。$A=P_1\times P_2\times \cdots P_n$。
+
+定理：$A_{m\times n} \sim B_{m\times n} \Leftrightarrow PAQ=B$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。
+
+
+---
+推论：$A_{m \times n}$，$A = P\begin{bmatrix} E_{r}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。
+
+
+推论：若$P,Q$可逆，则$R(PAQ)=R(A)$。
+
+推论：$R(A)=R(A^T)$。
+
+
+---
+（3）初等方阵的应用
+
+**利用初等方阵求方阵的逆矩阵**
+
+初等行变换：
+$$
+\begin{bmatrix}
+A&E
+\end{bmatrix}
+\sim 
+\begin{bmatrix}
+E&A^{-1}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+<br>
+初等列变换：
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+A\\E
+\end{bmatrix}
+\sim 
+\begin{bmatrix}
+E\\
+A^{-1}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+---
+**利用初等方阵求解矩阵方程。**
+
+$AX=B$，若$A$可逆，则$X=A^{-1}B$。
+
+初等行变换：
+$$
+\begin{bmatrix}
+A&B
+\end{bmatrix}
+\sim 
+\begin{bmatrix}
+E&A^{-1}B
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+$XA=B$，若$A$可逆，则$X=BA^{-1}$。
+
+初等列变换：
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+A\\B
+\end{bmatrix}
+\sim 
+\begin{bmatrix}
+E\\
+BA^{-1}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$XA=B$，若$A$可逆，则$A^TX^T=B^T$即$X=[(BA^{-1})^T]^T$。
+
+初等行变换：
+$$
+\begin{bmatrix}
+A^T&B^T
+\end{bmatrix}
+\sim 
+\begin{bmatrix}
+E&(BA^{-1})^T
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+
+==**概念：**==
+
+1. 初等方阵
+2. 初等方阵的性质 
+
+==**方法论：**==
+1. 利用初等方阵求逆矩阵
+2. 利用初等方阵求矩阵方程的解
+
+---
+### 2.3.5 练习
+
+（1）设$AX=B$，求$X$，其中
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+1&2&3\\
+2&2&1\\
+3&4&3
+\end{bmatrix}
+,B = \begin{bmatrix}
+2&5\\
+3&1\\
+4&3
+\end{bmatrix}
+$$
+
+
+---
+（2）设
+
+$$
+P = \begin{bmatrix}
+0&0&1\\
+0&1&0\\
+1&0&0
+\end{bmatrix}
+,A = \begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
+a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
+a_{31}&a_{32}&a_{33}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+且$P^mAP^n=A$，则$m=$ ___，$n=$ ___。
+
+A. $m=5,n=4$
+B. $m=5,n=5$
+C. $m=4,n=5$
+D. $m=4,n=4$
+
+
+---
+
+（3）
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
+a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
+a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
+a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
+\end{bmatrix}
+,P_1 = \begin{bmatrix}
+0&0&0&1\\
+0&1&0&0\\
+0&0&1&0\\
+1&0&0&0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+B = \begin{bmatrix}
+a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\\
+a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{21}\\
+a_{34}&a_{33}&a_{32}&a_{31}\\
+a_{44}&a_{43}&a_{42}&a_{41}
+\end{bmatrix}
+,P_2 = \begin{bmatrix}
+1&0&0&0\\
+0&0&1&0\\
+0&1&0&0\\
+0&0&0&1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+其中，$A$可逆，则$B^{-1}=$___。
+
+---
+
+A. $A^{-1}P_1P_2$
+B. $P_1A^{-1}P_2$
+C. $P_1P_2A^{-1}$
+D. $P_2A^{-1}P_1$
+
+
+（4）设$A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}$均为$n$阶可逆矩阵，则$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=$______。
+
+A. $A^{-1}+B^{-1}$
+B. $A+B$
+C. $A(A+B)^{-1}B$
+D. $(A+B)^{-1}$
+
+
+---
+（5）设$A,B$均可逆，求下列分块矩阵的逆矩阵。
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+A&C\\
+0&B
+\end{bmatrix}^{-1},
+\begin{bmatrix}
+A&0\\
+C&B
+\end{bmatrix}^{-1}
+$$
+
+
+（6）已知$P=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$，$\Lambda=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}$，$A=P\Lambda P^{-1}$求$P(A)=A^3 +5A^2+E$。
+
+
+

LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md

@@ -0,0 +1,571 @@
+
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第二章 矩阵及其运算
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 2.4 方阵的行列式
+- 2.4.1 方阵行列式的定义
+- 2.4.2 方阵行列式的性质
+- 2.4.3 行列式按行按列展开
+- 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则
+- 2.4.5 练习
+
+---
+### 2.4.1 方阵行列式的定义
+
+**（1）全排列**
+
+用 1,2,3 三个数可以排成6个不重复的三位数。
+
+> 123; 132; 213; 231; 312; 321
+
+
+==**概念：**==
+1. 全排列
+
+---
+
+**（2）逆序数及其计算**
+
+标准顺序：$123 \cdots n$  
+
+排列：$P_1 P_2 \cdots P_n$
+
+令 $l_i$为大于$P_i$且排在$P_i$前面元素的个数。
+
+$$
+l=\sum_{i=1}^{n} l_{i}
+$$
+
+
+
+---
+
+==**概念：**==
+1. 标准次序
+2. 逆序
+3. 逆序数
+4. 奇排列
+5. 偶排列
+
+
+==**方法论：**==
+1. 逆序数的计算
+
+---
+
+例子：
+
+- 排列：32514，逆序数为5，奇排列
+- 排列：31524，逆序数为4，偶排列
+
+<br>
+
+定理：一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变。
+
+==**概念：**==
+1. 对换
+
+---
+**（3）行列式**
+
+
+$$
+D= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+$$
+= \sum(-1)^\tau a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}
+$$
+
+$$
+= \sum(-1)^{\tau '} a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn}
+$$
+
+
+---
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
+a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
+a_{31}&a_{32}&a_{33}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+|A|=det(A)= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
+a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
+a_{31}&a_{32}&a_{33}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+==**概念：**==
+1. 行列式
+2. 方阵的行列式
+3. 几种特殊的行列式
+
+---
+### 2.4.2 方阵行列式的性质
+
+
+**（1）转置行列式**
+
+$$
+D= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+$$
+D^T= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\
+a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+---
+**（2）行列式的性质**
+
+**性质**：行列式与转置行列式相等。
+
+**性质**：互换行列式的两行或两列行列式变号。
+
+**推论**：如果行列式有两行或两列完全相同，那么此行列式为零。
+
+
+---
+**性质**：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘以此行列式。
+
+**推论**：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面。
+
+**性质**：行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
+
+---
+
+**性质**：行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则$D$等于下列两行列式之和，即：
+
+$$
+D= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+
+$$
+= \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}+
+\begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+---
+性质：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数，然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。
+
+性质：$A$是方阵$|\lambda A|=\lambda^n|A|$。
+
+推论：
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+A_{k\times k}&0\\
+*&B_{n\times n}
+\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}|
+$$
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+A_{k\times k}&*\\
+0&B_{n\times n}
+\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}|
+$$
+
+---
+$$
+\begin{vmatrix}
+0&A_{k\times k}\\
+B_{n\times n}&*
+\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}|
+$$
+
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+*&A_{k\times k}\\
+B_{n\times n}&0
+\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}|
+$$
+
+
+性质：$|AB|=|A||B|$，$A,B$为$n$阶方阵。
+
+
+性质：$|A^k|=|A|^k$
+
+性质：$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，$|A|$不等于0。
+
+
+---
+例题：
+
+1）计算：$D = \begin{vmatrix}3&1&1&1\\
+1&3&1&1\\
+1&1&3&1\\
+1&1&1&3
+\end{vmatrix}
+$
+
+
+2）已知1632，2160，3696，5024都可被16整除，不经计算，证明$D = \begin{vmatrix}
+1&6&3&2\\
+2&1&6&0\\
+3&6&9&6\\
+5&0&2&4
+\end{vmatrix}
+$可被16整除。
+
+---
+3）证明：
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+ax+by&ay+bz&az+bx\\
+ay+bz&az+bx&ax+by\\
+az+bx&ax+by&ay+bz
+\end{vmatrix}
+$$
+$$
+=(a^3+b^3)\begin{vmatrix}
+x&y&z\\
+y&z&x\\
+z&x&y
+\end{vmatrix}
+$$
+
+4）设$A,B$均为$n$阶方阵，且$A^TA=E,B^TB=E$,$\frac{|A|}{|B|}=-1$，则$|A+B|=0$。
+
+---
+
+==**概念：**==
+1. 转置的行列式
+2. 行列式的性质
+
+
+---
+### 2.4.3 行列式按行按列展开
+
+（1）余子式与代数余子式
+
+在$n$阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在第$i$行和第$j$列划去后，留下的$n-1$阶行列式叫作元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。$a_{ij}$的代数余子式记作$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。
+
+---
+（2）行列式按行（列）展开定理
+
+**引理**：设$D$为$n$阶行列式，如果$D$的第$i$行所有元素除$a_{ij}$外，其余元素均为零，那么行列式$D$等于$a_{ij}$与其代数余子式的乘积，即$D=a_{ij}A_{ij}$。
+
+
+**定理（拉普拉斯展开）**：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和，即$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$。
+
+> 拉普拉斯（Laplace），法国著名天文学家，数学家。
+
+
+---
+**推论**：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
+
+$$
+a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0, i\neq j
+$$
+
+$$
+a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0, i\neq j
+$$
+
+综上所述：
+
+$$
+\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\begin{cases}
+D, & i=j\\
+0, & i\neq j
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=\begin{cases}
+D, & i=j\\
+0, & i\neq j
+\end{cases}
+$$
+
+---
+范德蒙行列式：
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+1&1&\cdots&1\\
+x_1&x_2&\cdots&x_n\\
+x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
+x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}
+\end{vmatrix}=\prod_{n \geq i>j\geq1}(x_i-x_j)
+$$
+
+> 范德蒙（Vandermonde），法国数学家。
+
+---
+
+例题：
+
+1）设$D$为四阶行列式，第 2 行元素 $1,3,a,4$ 而第 4 行元素余子式为 $2,0,-1,1$，求$a$。
+
+
+2）求$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$，其中$A_{41},A_{42},A_{43},A_{44}$是$D$的第4行元素的代数余子式。
+
+$$
+D = \begin{vmatrix}
+1&2&3&4\\
+1&1&1&1\\
+2&3&4&5\\
+5&4&2&3
+\end{vmatrix}
+$$
+
+
+---
+
+==**概念：**==
+1. 余子式
+2. 代数余子式
+4. 范德蒙行列式
+
+==**方法论：**==
+1. 行列式按行（列）展开
+
+
+---
+### 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则
+
+（1）伴随矩阵
+
+定理：方阵$A$可逆 $\Leftrightarrow |A|$不等于$0$，$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$，其中
+
+$$
+A^{*}=\begin{bmatrix}
+A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\
+A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\
+\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
+A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$A^*$为$A$的伴随矩阵，$A^*$中的元素是$A$的所有元素的代数余子式。
+
+---
+例题：若$|A|$不等于$0$，求证
+
+1）$|A^*|=|A|^{n-1}$
+
+2）$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$
+
+3）$(A^*)^T=(A^T)^*$
+
+4）$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$
+
+5）$(kA)^*=k^{n-1}A^*$，$k \neq 0$
+
+---
+例题：
+
+1）设$n$阶矩阵$A$的伴随矩阵为$A^*$，证明若$|A|=0$，则$|A^*|=0$。
+
+2）设$A$为3阶方阵，且$|A|=2$，计算$|3A^{-1}-2A^*|$和$|3A-(A^*)^*|$。
+
+3）设$A$为$n$阶方阵，则____。
+
+&nbsp;&nbsp;A. $(-A)^*=(-1)^{n+1}A^*$
+&nbsp;&nbsp;B. $(-A)^*=-A^*$
+&nbsp;&nbsp;C. $(-A)^*=(-1)^{n}A^*$
+&nbsp;&nbsp;D. $(-A)^*=A^*$
+
+---
+（2）克拉默法则
+
+非齐次线性方程组：
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
+a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
+\cdots\\
+a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
+\end{array}
+\right.(a)
+$$
+
+系数矩阵：
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+定理：若$(a)$的系数行列式$|A|\neq 0$，则线性方程组有唯一解。$x_j=\frac{D_j}{D},j=1,2,\cdots,n$
+
+$$
+D=|A|
+$$
+
+$$
+D_j=\begin{vmatrix}
+a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\
+a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\
+\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+
+
+定理：如果线性方程组$(a)$无解或有多个解，则它的系数行列式$D=0$。
+
+---
+
+齐次线性方程组：
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
+a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\
+\cdots\\
+a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 
+\end{array}
+\right.(b)
+$$
+
+系数行列式：
+
+$$
+D = \begin{vmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+\vdots&\vdots& &\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+---
+
+定理：若$(b)$的系数行列式$D\neq 0$，则$(b)$没有非零解（只有零解）。
+
+定理：若$(b)$有非零解，则它的系数行列式必为零。
+
+
+---
+例题：
+
+1）问$\lambda$在什么条件下$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+\lambda x_1+x_2=0 \\
+x_1+\lambda x_2=0 
+\end{array}
+\right.
+$有非零解。
+
+
+2）设方程组
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+x+y+z=a+b+c \\
+ax+by+cz=a^2+b^2+c^2 \\
+bcx+cay+abz=3abc 
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+问$a,b,c$满足什么条件时，方程组有唯一解，并求出该解。
+
+---
+==**概念**：==
+1. 伴随矩阵
+2. 伴随矩阵的性质
+
+
+==**方法论：**==
+1. 利用克拉默法则求解线性方程组
+
+
+---
+### 2.4.5 练习
+
+（1）证明：奇数阶反对称矩阵的行列式等于零。
+
+（2）设$\alpha,\beta,\gamma$为互不相等的实数，证明
+
+$$
+\begin{vmatrix}1&1&1\\\alpha&\beta&\gamma\\\alpha^3&\beta^3&\gamma^3\end{vmatrix}=0
+$$
+
+的充分必要条件是$\alpha+\beta+\gamma=0$
+
+
+---
+（3）计算
+
+$$
+D_n=\begin{vmatrix}
+x&a&a&\cdots&a&a\\
+-a&x&a&\cdots&a&a\\
+-a&-a&x&\cdots&a&a\\
+\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\
+-a&-a&-a&\cdots&-a&x
+\end{vmatrix}
+$$
+
+
+
+
+（4）设3阶方阵$A=(a,c_1,c_2),B=(b,c_1,c_2)$且$|A|=3,|B|=5$，计算$|A+B|$。
+
+
+
+（5）设$\alpha^T=(1,2,3),\beta^T=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，令$A=\alpha \times \beta^T$，求$A^n$及$|A^n|$。

LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md

@@ -0,0 +1,95 @@
+<!-- $theme: gaia -->
+
+# 第二章 矩阵及其运算
+
+##### 马燕鹏，华北电力大学
+##### Github：https://github.com/datawhalechina 
+##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net
+
+
+
+---
+<!-- *template: invert -->
+
+## 2.5 矩阵LU分解
+- 2.5.1 $LU$分解的概念
+- 2.5.2 $LU$分解的应用
+
+---
+### 2.5.1 $LU$分解的概念
+
+$$
+\left \{ 
+\begin{array}{c}
+2x_1+x_2+x_3=4 \\
+4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11 \\
+8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\
+6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30 
+\end{array}
+\right.
+$$
+
+$$
+A=\begin{bmatrix}
+2&1&1&0\\
+1&3&3&1\\
+8&7&9&5\\
+6&7&9&8
+\end{bmatrix},A=LU
+$$
+
+---
+$$
+L=\begin{bmatrix}
+1&0&0&0\\
+2&1&0&0\\
+4&3&1&0\\
+4&3&1&1
+\end{bmatrix},
+U=\begin{bmatrix}
+2&1&1&0\\
+0&1&1&1\\
+0&0&2&2\\
+0&0&0&2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+矩阵的分解是把矩阵$A$表示成两个或多个矩阵的乘积。
+
+
+$A=LU$是关于高斯消元法的全新认知，也是最基础的矩阵分解。
+
+
+一般地，设$A$是$n$阶可逆矩阵，若存在$n$阶下三角形且主对角元素全为1的矩阵$L$，$U$是与$A$等价的上三角形矩阵，满足$A=LU$，则称为$A$的$LU$分解。
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+### 2.5.2 $LU$分解的应用
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+Ax=b,A=LU
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+LUx=b,Ly=b,Ux=y
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+==**概念：**==
+1. 矩阵分解
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+==**方法论：**==
+1. 矩阵的$LU$分解
+2. 利用矩阵$LU$分解求解线性方程组
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