diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md new file mode 100644 index 0000000..c81e39c --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md @@ -0,0 +1,167 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 1.1 线性方程组的消元法 +- 1.1.1 引例 +- 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法 +- 1.1.3 矩阵的初等变换 +- 1.1.4 矩阵的基本概念 +- 1.1.5 练习 + +--- + +### 1.1.1 引例 + + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1+x_2+x_3=4 \\ +4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11\\ +8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\ +6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30 +\end{array}\right. +$$ + +==**概念：**== +1. 线性方程组等价 +2. 线性方程组的三种等价变换 +3. 高斯（Gauss）消元法 + +--- + +### 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +4&3&3&1\\ +8&7&9&5\\ +6&7&9&8 +\end{bmatrix}, +x = \begin{bmatrix} +x_1\\ +x_2\\ +x_3\\ +x_4 +\end{bmatrix}, +b = \begin{bmatrix} +4\\ +11\\ +29\\ +30 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +B =\left(A,b \right) =\begin{bmatrix} +2&1&1&0&4\\ +4&3&3&1&11\\ +8&7&9&5&29\\ +6&7&9&8&30 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +==**概念：**== + +1. 系数矩阵 +2. 增广矩阵 +3. 线性方程组的矩阵表示 + +==**方法论**：== +1. 利用矩阵推演高斯消元法 + +--- + +### 1.1.3 矩阵的初等变换 + +==**概念：**== +1. 矩阵的初等变换 +2. 矩阵等价 + - 矩阵行等价（线性方程组等价） + - 矩阵列等价 +5. 矩阵等价的性质 + +--- + +### 1.1.4 矩阵的基本概念 + +==**概念：**== +1. 矩阵（Matrix）的定义 +2. 矩阵的表示 +3. 特殊矩阵 + + +--- +### 1.1.5 练习 + +1. 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵 + +$$ +\left( 1\right) +\left \{ +\begin{array}{c} +x_1-3x_2+4x_3=-4 \\ +3x_1-7x_2+7x_3=-8\\ +-4x_1+6x_2-x_3=7 +\end{array} +\right. +$$ + +$$ +\left( 2\right) +\left \{ +\begin{array}{c} +x_1-x_3=8 \\ +2x_1+2x_2+9x_3=7\\ +x_2+5x_3=-2 +\end{array} +\right. +$$ + +--- +（2）如果以下矩阵为某个线性方程组的增广矩阵，试写出其对应的线性方程组。 +$$ +\left( 1\right) +B =\begin{bmatrix} +2&1&-1&2\\ +3&-2&1&7\\ +1&-3&-2&-7 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\left( 2\right) +B =\begin{bmatrix} +0&1&1&1&0\\ +3&0&3&-4&7\\ +1&1&1&2&6\\ +2&3&1&3&6 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（3）已知某个线性方程组的增广矩阵已用初等行变换化成了如下形式： + +$$ +\begin{bmatrix} +1&-1&0&0&4\\ +0&1&-3&0&-7\\ +0&0&1&-3&-1\\ +0&0&0&2&4 +\end{bmatrix} +$$ + +试进行适当的行变换并求出原方程组的解。 + + + diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf new file mode 100644 index 0000000..40fe1a0 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md new file mode 100644 index 0000000..455fd94 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md @@ -0,0 +1,161 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 1.2 方程组与矩阵 + +- 1.2.1 线性方程组的矩阵表示 +- 1.2.2 矩阵初等变换的应用 +- 1.2.3 练习 + +--- +### 1.2.1 线性方程组的矩阵表示 + +非齐次线性方程组： +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m +\end{array} +\right. +$$ + +$Ax=b$，是否有解问题，若有解是唯一解还是无穷多解。 + +--- +齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 +\end{array} +\right. +$$ + +$Ax=0$，是否有非零解问题。 + +==**概念**==： +1. 线性方程组的分类（非齐次，齐次） +2. 线性方程组的相容性 + +--- +### 1.2.2 矩阵初等变换的应用 + +（1）讨论方程组的相容性。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1-x_2-x_3+x_4=2 \\ +x_1+x_2-2x_3+x_4=4\\ +4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4\\ +3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9 +\end{array} +\right. +$$ + +--- +（2）讨论方程组的相容性。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +x_2+4x_3=-5 \\ +x_1+3x_2+5x_3=-2\\ +3x_1+7x_2+7x_3=6 +\end{array} +\right. +$$ + +（3）当$h$和$k$取何值时，下列方程相容。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1-x_2=h \\ +-6x_1+3x_2=k +\end{array} +\right. +$$ + +--- +==**概念：**== +1. 行阶梯形 +2. 行最简形 +3. 线性方程组的通解 +4. 标准形 +5. 矩阵的秩 + + +--- +### 1.2.3 练习 + +（1）下列矩阵哪些是行最简形，哪些不是行最简形，并将不是行最简形的矩阵采用初等行变换将其化为行最简形。 + +$$ +\left( 1\right) +\begin{bmatrix} +1&0&0&2\\ +0&1&0&3\\ +0&0&1&5 +\end{bmatrix}, +\left( 2\right) +\begin{bmatrix} +1&1&0&0\\ +0&1&1&0\\ +0&0&1&1 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\left( 3\right) +\begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +1&1&0&0\\ +0&1&1&0\\ +0&0&1&1 +\end{bmatrix}, +\left( 4\right) +\begin{bmatrix} +0&1&1&1&1\\ +0&0&2&2&2\\ +0&0&0&0&3\\ +0&0&0&0&0 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（2）指出矩阵$A=\begin{bmatrix}0&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&2&3\end{bmatrix}$的先导列和主元列。 + +（3）主元位置上的元素就是主元。（⨉） + + +==**注意**：== + +- 先导列，行首非零元所在列；主元列，对应行阶梯形的先导列。 +- 先导列可以相同，主元列一定不同；先导列一看便知，主元列需要计算才能确定。 + + +--- +==**概念**== +1. 先导元 +2. 先导列 +3. 主元位置 +4. 主元列 +5. 主元 + diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf new file mode 100644 index 0000000..fb40b07 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md new file mode 100644 index 0000000..bf3f4a0 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md @@ -0,0 +1,86 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 1.3 矩阵的秩及方程组解的判别 + +- 1.3.1 矩阵的秩 +- 1.3.2 线性方程组解的存在性 +- 1.3.3 线性方程组的解法 +- 1.3.4 练习 + +--- +### 1.3.1 矩阵的秩 + +==**概念：**== + +1. 矩阵秩的定义 +2. 矩阵秩的性质 + +- $A=0$，则$R(A)=0$ +- $A \sim B$，则$R(A)=R(B)$ +- $R(A_{m \times n})\leq min(m,n)$ + +--- +### 1.3.2 线性方程组解的存在性 + +==**定理**==：$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$有非零解的充要条件。 + + +==**定理**==：$n$元非齐次线性方程组$A_{m\times n}x=b$有解的充要条件。 + +--- +### 1.3.3 线性方程组的解法 + +==**方法论：**== + +1. 线性方程组的解法 + +**Step01**：系数矩阵$A$（增广矩阵$(A,b)$）化行阶梯形。 +**Step02**：判断方程组是否有非零解$R(A) + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 2.1 矩阵的基本运算 +- 2.1.1 矩阵的加法 +- 2.1.2 矩阵的数乘 +- 2.1.3 矩阵的乘法 +- 2.1.4 方阵的乘幂 +- 2.1.5 方阵的迹 +- 2.1.6 矩阵的转置 + +--- + +### 2.1.1 矩阵的加法 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +C=A+B = (c_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵加法的定义 +2. 矩阵减法的定义 +3. 矩阵加法的运算律 + +--- + +### 2.1.2 矩阵的数乘 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +\lambda A = A\lambda= (\lambda a_{ij})_{m\times n} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵数乘的定义 +2. 矩阵数乘的运算律 +3. 矩阵的线性运算 + +--- +### 2.1.3 矩阵的乘法 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n} +$$ + +$$ +C=A\times B = (c_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +c_{ij}=\sum^{s}_{k = 1}{a_{ik}\times b_{kj}},i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n +$$ + + + +--- + +（1）计算$A\times B$和$B \times A$。 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +-2&4\\ +1&-2 +\end{bmatrix}, +B = \begin{bmatrix} +2&4\\ +-3&-6 +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵乘法的定义 +2. 矩阵乘法的运算律 +3. 特殊的矩阵乘法 + +--- + +### 2.1.4 方阵的乘幂 + + +$$ +A^k_{n\times n} = A\times A \cdots \times A +$$ + + + +（1）计算$A^3$，其中$A= \begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&1 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。 + + +（2）计算$A^2$，其中$A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&0&0 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。 + + +--- + +==**概念：**== +1. 方阵乘幂的定义 +2. 方阵乘幂的性质 +3. 幂零矩阵的定义 +4. 幂等矩阵的定义 + + +--- + +### 2.1.5 方阵的迹 + +$$ +A = (a_{ij})_{n\times n} +$$ + +$$ +tr(A) = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} = \sum^{n}_{i=1}{a_{ii}} +$$ + + +==**证明：**==$tr(AB)=tr(BA)$。 + +==**证明：**==$tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)$。 + + +--- +==**概念：**== +1. 方阵迹的定义 +2. 方阵迹的相关定理与推论 + + + +--- +### 2.1.6 矩阵的转置 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +1&2&3&4\\ +4&3&2&8\\ +7&3&8&2 +\end{bmatrix}, +A^T=\begin{bmatrix} +1&4&7\\ +2&3&3\\ +3&2&8\\ +4&8&2 +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵转置的定义 +2. 对称矩阵与反对称矩阵 +3. 矩阵转置的性质 + + +--- +==**证明：**== +1. $(A\times B)^T=B^T\times A^T$。 +2. 对任何矩阵$A_{m\times n}$，$A^TA$与$AA^T$均为对称矩阵。 +3. 任意$n$阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 +4. 设$A,B$都是对称矩阵，证明$AB$为对称矩阵的充要条件是$AB=BA$。 diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf new file mode 100644 index 0000000..4b6ef27 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md new file mode 100644 index 0000000..54a510a --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md @@ -0,0 +1,214 @@ + + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + + +--- + + +## 2.2 分块矩阵及运算 + +- 2.2.1 分块矩阵的定义 +- 2.2.2 分块矩阵的运算 +- 2.2.3 分块矩阵的应用 +- 2.2.4 练习 + +--- +### 2.2.1 分块矩阵的定义 + +$$ +A= +\left[ +\begin{array}{ccc|cc|c} +3 & 0 & -1 & 5 & 9 & -2 \\ +-5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \\ +- - &- -&- -&- -&- -&- -\\ +-8 & -6 & 3 & 1 & 7 & -4 +\end{array} +\right] +$$ +$$ += \begin{bmatrix} +A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ +A_{21}&A_{22}&A_{23} +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 子块的概念 +2. 分块矩阵的定义 + +--- + +### 2.2.2 分块矩阵的运算 + +（1）分块矩阵的加法 + +
+
+
+
+ +--- +（2）分块矩阵的数乘 + +$$ +A_{m\times n} = \begin{bmatrix} +A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ +\vdots&&\vdots&\\ +A_{s1}&\cdots&A_{sr} +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\lambda A = \begin{bmatrix} +\lambda A_{11}&\cdots&\lambda A_{1r}\\ +\vdots&&\vdots&\\ +\lambda A_{s1}&\cdots&\lambda A_{sr} +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（3）分块矩阵的转置 + +
+
+
+
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+ +--- +（4）分块矩阵的乘法 + +
+
+
+
+
+
+
+ + +--- +例子：利用分块法求$AB$。 + +
+ +

分块方式如下：

+ + +
+ + + +--- +==**概念：**== +1. 分块矩阵的加法 +2. 分块矩阵的数乘 +3. 分块矩阵的转置 +4. 分块矩阵的乘法 + + +--- +### 2.2.3 分块矩阵的应用 + +（1）齐次线性方程组的分块表示 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 +\end{array} +\right. +$$ + +- 利用矩阵表示：$Ax=0$ +- 利用列向量表示：$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 +\cdots+\alpha_nx_n=0$ +- 利用行向量表示：$\alpha_i^Tx=0,i=1,2,\cdots,m$ + +--- +（2）非齐次线性方程组的分块表示 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m +\end{array} +\right. +$$ + +- 利用矩阵表示：$Ax=b$ +- 利用列向量表示：$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=b$ +- 利用行向量表示：$\alpha_i^Tx=b_i,i=1,2,\cdots,m$ + +--- +（3）矩阵乘法的分块 + +$$ +A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s} +$$ + +==**分块策略：**== +- 对$B$按列分块的讨论 +- 对$A$按列分块的讨论 +- 对$B$按行分块的讨论 +- 对$A$按行分块的讨论 + +--- +（4）对角矩阵的分块 + + +$$ +A_{m\times n} \times \Lambda += +\begin{bmatrix} +\lambda_1 \alpha_1&\lambda_2 \alpha_2\cdots\lambda_n\alpha_n +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\Lambda \times A_{m \times n} = \begin{bmatrix} +\lambda_1 \alpha_1^T\\ +\lambda_2 \alpha_2^T\\ +\cdots\\ +\lambda_m\alpha_m^T +\end{bmatrix} +$$ + + +（5）定理与推论 + +定理：若$m\times n$矩阵满足$A^TA=0$，则$A=0$。 + +推论：若$m\times n$矩阵满足$tr(A^TA)=0$，则$A=0$。 + + +--- +### 2.2.4 练习 + +画出如下矩阵分隔线使每个矩阵分成四块： + + +
+
+ +
+ +
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\ No newline at end of file diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf new file mode 100644 index 0000000..7e6d447 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md new file mode 100644 index 0000000..2190c33 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md @@ -0,0 +1,377 @@ + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 2.3 逆矩阵 +- 2.3.1 逆矩阵的概念 +- 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性 +- 2.3.3 逆矩阵的性质 +- 2.3.4 逆矩阵的求解 +- 2.3.5 练习 + +--- + +### 2.3.1 逆矩阵的概念 + + +$$ +A_{n \times n}\times B_{n \times n} = B_{n \times n} \times A_{n \times n} = E +$$ + +$$ +A^{-1} = B +$$ + + +==**概念：**== +1. 奇异矩阵 +2. 非奇异矩阵（可逆矩阵） + +--- + +### 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性 + +定理：逆矩阵是唯一的。 +
+ +**线性方程组中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：** + +- 定理：若$A$可逆，则$Ax=b$只有唯一解$x=A^{-1}b$。 +- 定理：若$A$可逆，则$Ax=0$只有零解。 + + +--- + +**矩阵方程中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：** + +- 定理：若$A$可逆，则$AX=B$只有唯一解$X=A^{-1}B$。 +- 定理：若$A$可逆，则$AX=0$只有零解。 + + +--- + +**方阵$A$可逆的一组充要条件：** + +- 定理：$Ax=0$只有零解$\Leftrightarrow R(A)=n$。 +- 定理：$A$为方阵且$A \sim E \Leftrightarrow R(A)=n$。 +- 定理：$A$可逆$\Leftrightarrow R(A)=n$。 +
+ +推论：若$AB=E$，则$A,B$均可逆，且$A^{-1}=B$，$B^{-1}=A$。 + +--- +例题： + +1）设$A=\begin{bmatrix} 3&-2&0&-1\\0&2&2&1\\1&-2&-3&-2\\0&1&2&1\end{bmatrix}$，求$A$的标准型。 + +--- +### 2.3.3 逆矩阵的性质 + +**性质**：若$A$可逆，则$A^{-1}$可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$。 + +**性质**：若$A$可逆，$\lambda \neq 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}$。 + +**性质**：若$A$可逆，则$A^{T}$可逆，$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$。 + +**性质**：若$A,B$为同阶的可逆矩阵，则$AB$也可逆且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。 + +--- +**性质**：若 $A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$不等于0，则 + +$$A^{-1} = diag(\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\cdots,\frac{1}{\lambda_n})$$ + +$$A^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k),k\in N$$ + +注意： +1. $A^0 = E$ +2. $A^{-k}=(A^{-1})^{k}$ + + +--- + +例题： + +1）设方阵$A$满足$A^3-A^2+2A-E=0$，证明$A$及$E-A$均可逆，并求$A^{-1}$和$(E-A)^{-1}$。 + +2）设$A,B$均为$n$阶方阵，若$E-AB$可逆，则$E-BA$也可逆，求$(E-BA)^{-1}$。 + + +3）设$A$为$n$阶方阵且$ABC=E$，则____。 + +  A. $ACB=E$ +  B. $CBA=E$ +  C. $BAC=E$ +  D. $BCA=E$ + +--- +==**概念：**== + +1. 逆矩阵的唯一性 +2. 逆矩阵的存在性 +3. 逆矩阵的性质 + + + + +--- +### 2.3.4 逆矩阵的求解 + + +（1）初等方阵的定义 + +初等方阵 +- 对换变换：$E[i,j]$ +- 倍乘变换：$E[i(k)]$, $k$不等于0 +- 倍加变换：$E[i,j(k)]$ + +--- +注：初等方阵是可逆的 +- $E^{-1}[i,j]=E[i,j]$ +- $E^{-1}[i(k)]=E[i(\frac{1}{k})]$，$k \neq 0$ +- $E^{-1}[i,j(k)]=E[i,j(-k)]$ + + +--- +例题： + + +$$ +A= \begin{bmatrix} +a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ +a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ +a_{31} & a_{32} & a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +计算： +- $A\times E[1,3],A\times E[2(k)],A\times E[1,3(k)]$ +- $E[1,3]\times A,E[2(k)]\times A,E[1,3(k)]\times A$ + + +--- + +（2）初等方阵的相关定理 + +定理：$A_{m\times n}$，$A$左乘初等方阵，相当于实施一次初等行变换；右乘初等方阵，相当于实施一次初等列变换。 + +定理：$A$可逆，$A$可看作有限个初等方阵的乘积。$A=P_1\times P_2\times \cdots P_n$。 + +定理：$A_{m\times n} \sim B_{m\times n} \Leftrightarrow PAQ=B$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。 + + +--- +推论：$A_{m \times n}$，$A = P\begin{bmatrix} E_{r}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。 + + +推论：若$P,Q$可逆，则$R(PAQ)=R(A)$。 + +推论：$R(A)=R(A^T)$。 + + +--- +（3）初等方阵的应用 + +**利用初等方阵求方阵的逆矩阵** + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A&E +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&A^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + +
+初等列变换： + +$$ +\begin{bmatrix} +A\\E +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E\\ +A^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + + +--- +**利用初等方阵求解矩阵方程。** + +$AX=B$，若$A$可逆，则$X=A^{-1}B$。 + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A&B +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&A^{-1}B +\end{bmatrix} +$$ + +--- +$XA=B$，若$A$可逆，则$X=BA^{-1}$。 + +初等列变换： + +$$ +\begin{bmatrix} +A\\B +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E\\ +BA^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + +$XA=B$，若$A$可逆，则$A^TX^T=B^T$即$X=[(BA^{-1})^T]^T$。 + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A^T&B^T +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&(BA^{-1})^T +\end{bmatrix} +$$ + +--- + +==**概念：**== + +1. 初等方阵 +2. 初等方阵的性质 + +==**方法论：**== +1. 利用初等方阵求逆矩阵 +2. 利用初等方阵求矩阵方程的解 + +--- +### 2.3.5 练习 + +（1）设$AX=B$，求$X$，其中 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +1&2&3\\ +2&2&1\\ +3&4&3 +\end{bmatrix} +,B = \begin{bmatrix} +2&5\\ +3&1\\ +4&3 +\end{bmatrix} +$$ + + +--- +（2）设 + +$$ +P = \begin{bmatrix} +0&0&1\\ +0&1&0\\ +1&0&0 +\end{bmatrix} +,A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +且$P^mAP^n=A$，则$m=$ ___，$n=$ ___。 + +A. $m=5,n=4$ +B. $m=5,n=5$ +C. $m=4,n=5$ +D. $m=4,n=4$ + + +--- + +（3） +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ +a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} +\end{bmatrix} +,P_1 = \begin{bmatrix} +0&0&0&1\\ +0&1&0&0\\ +0&0&1&0\\ +1&0&0&0 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +B = \begin{bmatrix} +a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\\ +a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{21}\\ +a_{34}&a_{33}&a_{32}&a_{31}\\ +a_{44}&a_{43}&a_{42}&a_{41} +\end{bmatrix} +,P_2 = \begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +0&0&1&0\\ +0&1&0&0\\ +0&0&0&1 +\end{bmatrix} +$$ + +其中，$A$可逆，则$B^{-1}=$___。 + +--- + +A. $A^{-1}P_1P_2$ +B. $P_1A^{-1}P_2$ +C. $P_1P_2A^{-1}$ +D. $P_2A^{-1}P_1$ + + +（4）设$A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}$均为$n$阶可逆矩阵，则$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=$______。 + +A. $A^{-1}+B^{-1}$ +B. $A+B$ +C. $A(A+B)^{-1}B$ +D. $(A+B)^{-1}$ + + +--- +（5）设$A,B$均可逆，求下列分块矩阵的逆矩阵。 + +$$ +\begin{bmatrix} +A&C\\ +0&B +\end{bmatrix}^{-1}, +\begin{bmatrix} +A&0\\ +C&B +\end{bmatrix}^{-1} +$$ + + +（6）已知$P=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$，$\Lambda=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}$，$A=P\Lambda P^{-1}$求$P(A)=A^3 +5A^2+E$。 + + + diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf new file mode 100644 index 0000000..4c20c7e Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md new file mode 100644 index 0000000..2b36f47 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md @@ -0,0 +1,571 @@ + + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 2.4 方阵的行列式 +- 2.4.1 方阵行列式的定义 +- 2.4.2 方阵行列式的性质 +- 2.4.3 行列式按行按列展开 +- 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则 +- 2.4.5 练习 + +--- +### 2.4.1 方阵行列式的定义 + +**（1）全排列** + +用 1,2,3 三个数可以排成6个不重复的三位数。 + +> 123; 132; 213; 231; 312; 321 + + +==**概念：**== +1. 全排列 + +--- + +**（2）逆序数及其计算** + +标准顺序：$123 \cdots n$ + +排列：$P_1 P_2 \cdots P_n$ + +令 $l_i$为大于$P_i$且排在$P_i$前面元素的个数。 + +$$ +l=\sum_{i=1}^{n} l_{i} +$$ + + + +--- + +==**概念：**== +1. 标准次序 +2. 逆序 +3. 逆序数 +4. 奇排列 +5. 偶排列 + + +==**方法论：**== +1. 逆序数的计算 + +--- + +例子： + +- 排列：32514，逆序数为5，奇排列 +- 排列：31524，逆序数为4，偶排列 + +
+ +定理：一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变。 + +==**概念：**== +1. 对换 + +--- +**（3）行列式** + + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ +$$ += \sum(-1)^\tau a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} +$$ + +$$ += \sum(-1)^{\tau '} a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn} +$$ + + +--- + +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +|A|=det(A)= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{vmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 行列式 +2. 方阵的行列式 +3. 几种特殊的行列式 + +--- +### 2.4.2 方阵行列式的性质 + + +**（1）转置行列式** + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +$$ +D^T= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ +a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- +**（2）行列式的性质** + +**性质**：行列式与转置行列式相等。 + +**性质**：互换行列式的两行或两列行列式变号。 + +**推论**：如果行列式有两行或两列完全相同，那么此行列式为零。 + + +--- +**性质**：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘以此行列式。 + +**推论**：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 + +**性质**：行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 + +--- + +**性质**：行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则$D$等于下列两行列式之和，即： + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + + +$$ += \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix}+ +\begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- +性质：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数，然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。 + +性质：$A$是方阵$|\lambda A|=\lambda^n|A|$。 + +推论： + +$$ +\begin{vmatrix} +A_{k\times k}&0\\ +*&B_{n\times n} +\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + +$$ +\begin{vmatrix} +A_{k\times k}&*\\ +0&B_{n\times n} +\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + +--- +$$ +\begin{vmatrix} +0&A_{k\times k}\\ +B_{n\times n}&* +\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + + +$$ +\begin{vmatrix} +*&A_{k\times k}\\ +B_{n\times n}&0 +\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + + +性质：$|AB|=|A||B|$，$A,B$为$n$阶方阵。 + + +性质：$|A^k|=|A|^k$ + +性质：$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，$|A|$不等于0。 + + +--- +例题： + +1）计算：$D = \begin{vmatrix}3&1&1&1\\ +1&3&1&1\\ +1&1&3&1\\ +1&1&1&3 +\end{vmatrix} +$ + + +2）已知1632，2160，3696，5024都可被16整除，不经计算，证明$D = \begin{vmatrix} +1&6&3&2\\ +2&1&6&0\\ +3&6&9&6\\ +5&0&2&4 +\end{vmatrix} +$可被16整除。 + +--- +3）证明： + +$$ +\begin{vmatrix} +ax+by&ay+bz&az+bx\\ +ay+bz&az+bx&ax+by\\ +az+bx&ax+by&ay+bz +\end{vmatrix} +$$ +$$ +=(a^3+b^3)\begin{vmatrix} +x&y&z\\ +y&z&x\\ +z&x&y +\end{vmatrix} +$$ + +4）设$A,B$均为$n$阶方阵，且$A^TA=E,B^TB=E$,$\frac{|A|}{|B|}=-1$，则$|A+B|=0$。 + +--- + +==**概念：**== +1. 转置的行列式 +2. 行列式的性质 + + +--- +### 2.4.3 行列式按行按列展开 + +（1）余子式与代数余子式 + +在$n$阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在第$i$行和第$j$列划去后，留下的$n-1$阶行列式叫作元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。$a_{ij}$的代数余子式记作$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。 + +--- +（2）行列式按行（列）展开定理 + +**引理**：设$D$为$n$阶行列式，如果$D$的第$i$行所有元素除$a_{ij}$外，其余元素均为零，那么行列式$D$等于$a_{ij}$与其代数余子式的乘积，即$D=a_{ij}A_{ij}$。 + + +**定理（拉普拉斯展开）**：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和，即$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$。 + +> 拉普拉斯（Laplace），法国著名天文学家，数学家。 + + +--- +**推论**：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即： + +$$ +a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0, i\neq j +$$ + +$$ +a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0, i\neq j +$$ + +综上所述： + +$$ +\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\begin{cases} +D, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +$$ +\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=\begin{cases} +D, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +--- +范德蒙行列式： + +$$ +\begin{vmatrix} +1&1&\cdots&1\\ +x_1&x_2&\cdots&x_n\\ +x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ +x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} +\end{vmatrix}=\prod_{n \geq i>j\geq1}(x_i-x_j) +$$ + +> 范德蒙（Vandermonde），法国数学家。 + +--- + +例题： + +1）设$D$为四阶行列式，第 2 行元素 $1,3,a,4$ 而第 4 行元素余子式为 $2,0,-1,1$，求$a$。 + + +2）求$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$，其中$A_{41},A_{42},A_{43},A_{44}$是$D$的第4行元素的代数余子式。 + +$$ +D = \begin{vmatrix} +1&2&3&4\\ +1&1&1&1\\ +2&3&4&5\\ +5&4&2&3 +\end{vmatrix} +$$ + + +--- + +==**概念：**== +1. 余子式 +2. 代数余子式 +4. 范德蒙行列式 + +==**方法论：**== +1. 行列式按行（列）展开 + + +--- +### 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则 + +（1）伴随矩阵 + +定理：方阵$A$可逆 $\Leftrightarrow |A|$不等于$0$，$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$，其中 + +$$ +A^{*}=\begin{bmatrix} +A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ +A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ +\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ +A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} +\end{bmatrix} +$$ + +$A^*$为$A$的伴随矩阵，$A^*$中的元素是$A$的所有元素的代数余子式。 + +--- +例题：若$|A|$不等于$0$，求证 + +1）$|A^*|=|A|^{n-1}$ + +2）$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ + +3）$(A^*)^T=(A^T)^*$ + +4）$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$ + +5）$(kA)^*=k^{n-1}A^*$，$k \neq 0$ + +--- +例题： + +1）设$n$阶矩阵$A$的伴随矩阵为$A^*$，证明若$|A|=0$，则$|A^*|=0$。 + +2）设$A$为3阶方阵，且$|A|=2$，计算$|3A^{-1}-2A^*|$和$|3A-(A^*)^*|$。 + +3）设$A$为$n$阶方阵，则____。 + +  A. $(-A)^*=(-1)^{n+1}A^*$ +  B. $(-A)^*=-A^*$ +  C. $(-A)^*=(-1)^{n}A^*$ +  D. $(-A)^*=A^*$ + +--- +（2）克拉默法则 + +非齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n +\end{array} +\right.(a) +$$ + +系数矩阵： +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{bmatrix} +$$ + +--- +定理：若$(a)$的系数行列式$|A|\neq 0$，则线性方程组有唯一解。$x_j=\frac{D_j}{D},j=1,2,\cdots,n$ + +$$ +D=|A| +$$ + +$$ +D_j=\begin{vmatrix} +a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + + + +定理：如果线性方程组$(a)$无解或有多个解，则它的系数行列式$D=0$。 + +--- + +齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 +\end{array} +\right.(b) +$$ + +系数行列式： + +$$ +D = \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots& &\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- + +定理：若$(b)$的系数行列式$D\neq 0$，则$(b)$没有非零解（只有零解）。 + +定理：若$(b)$有非零解，则它的系数行列式必为零。 + + +--- +例题： + +1）问$\lambda$在什么条件下$ +\left \{ +\begin{array}{c} +\lambda x_1+x_2=0 \\ +x_1+\lambda x_2=0 +\end{array} +\right. +$有非零解。 + + +2）设方程组 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +x+y+z=a+b+c \\ +ax+by+cz=a^2+b^2+c^2 \\ +bcx+cay+abz=3abc +\end{array} +\right. +$$ + +问$a,b,c$满足什么条件时，方程组有唯一解，并求出该解。 + +--- +==**概念**：== +1. 伴随矩阵 +2. 伴随矩阵的性质 + + +==**方法论：**== +1. 利用克拉默法则求解线性方程组 + + +--- +### 2.4.5 练习 + +（1）证明：奇数阶反对称矩阵的行列式等于零。 + +（2）设$\alpha,\beta,\gamma$为互不相等的实数，证明 + +$$ +\begin{vmatrix}1&1&1\\\alpha&\beta&\gamma\\\alpha^3&\beta^3&\gamma^3\end{vmatrix}=0 +$$ + +的充分必要条件是$\alpha+\beta+\gamma=0$ + + +--- +（3）计算 + +$$ +D_n=\begin{vmatrix} +x&a&a&\cdots&a&a\\ +-a&x&a&\cdots&a&a\\ +-a&-a&x&\cdots&a&a\\ +\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ +-a&-a&-a&\cdots&-a&x +\end{vmatrix} +$$ + + + + +（4）设3阶方阵$A=(a,c_1,c_2),B=(b,c_1,c_2)$且$|A|=3,|B|=5$，计算$|A+B|$。 + + + +（5）设$\alpha^T=(1,2,3),\beta^T=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，令$A=\alpha \times \beta^T$，求$A^n$及$|A^n|$。 \ No newline at end of file diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf new file mode 100644 index 0000000..6f53c36 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md new file mode 100644 index 0000000..7682efe --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md @@ -0,0 +1,95 @@ + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + + +--- + + +## 2.5 矩阵LU分解 +- 2.5.1 $LU$分解的概念 +- 2.5.2 $LU$分解的应用 + +--- +### 2.5.1 $LU$分解的概念 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1+x_2+x_3=4 \\ +4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11 \\ +8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\ +6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30 +\end{array} +\right. +$$ + +$$ +A=\begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +1&3&3&1\\ +8&7&9&5\\ +6&7&9&8 +\end{bmatrix},A=LU +$$ + +--- +$$ +L=\begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +2&1&0&0\\ +4&3&1&0\\ +4&3&1&1 +\end{bmatrix}, +U=\begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +0&1&1&1\\ +0&0&2&2\\ +0&0&0&2 +\end{bmatrix} +$$ + +矩阵的分解是把矩阵$A$表示成两个或多个矩阵的乘积。 + + +$A=LU$是关于高斯消元法的全新认知，也是最基础的矩阵分解。 + + +一般地，设$A$是$n$阶可逆矩阵，若存在$n$阶下三角形且主对角元素全为1的矩阵$L$，$U$是与$A$等价的上三角形矩阵，满足$A=LU$，则称为$A$的$LU$分解。 + +--- +### 2.5.2 $LU$分解的应用 + + +$$ +Ax=b,A=LU +$$ + +$$ +LUx=b,Ly=b,Ux=y +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵分解 + +==**方法论：**== +1. 矩阵的$LU$分解 +2. 利用矩阵$LU$分解求解线性方程组 + + + + + + + + + + + + + diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf new file mode 100644 index 0000000..847701d Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf differ