# 位运算

## 1. 原码、反码和补码

二进制有三种不同的表示形式：原码、反码和补码，<u>计算机内部使用补码来表示</u>。

**原码**：就是其二进制表示（注意，最高位是符号位）。

```python
00 00 00 11 -> 3
10 00 00 11 -> -3
```

**反码**：正数的反码就是原码，负数的反码是符号位不变，其余位取反（对应正数按位取反）。

```python
00 00 00 11 -> 3
11 11 11 00 -> -3
```

**补码**：正数的补码就是原码，负数的补码是反码+1。

```python
00 00 00 11 -> 3
11 11 11 01 -> -3
```

**符号位**：最高位为符号位，0表示正数，1表示负数。在位运算中符号位也参与运算。


## 2. 按位非操作 ~


```python
~ 1 = 0
~ 0 = 1
```

`~` 把`num`的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）有符号整数的符号位在 `~` 运算中同样会取反。

```python
00 00 01 01 -> 5
~
---
11 11 10 10 -> -6

11 11 10 11 -> -5
~
---
00 00 01 00 -> 4
```


## 3. 按位与操作 &

```python
1 & 1 = 1
1 & 0 = 0
0 & 1 = 0
0 & 0 = 0
```

只有两个对应位都为 1 时才为 1
```python
00 00 01 01 -> 5
&
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 01 00 -> 4
```

## 4. 按位或操作 |

```python
1 | 1 = 1
1 | 0 = 1
0 | 1 = 1
0 | 0 = 0
```

只要两个对应位中有一个 1 时就为 1
```python
00 00 01 01 -> 5
|
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 01 11 -> 7
```

## 5. 按位异或操作 ^

```python
1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0
```

只有两个对应位不同时才为 1

```python
00 00 01 01 -> 5
^
00 00 01 10 -> 6
---
00 00 00 11 -> 3
```

异或操作的性质：满足交换律和结合律
```python
A: 00 00 11 00
B: 00 00 01 11

A^B: 00 00 10 11
B^A: 00 00 10 11

A^A: 00 00 00 00
A^0: 00 00 11 00

A^B^A: = A^A^B = B = 00 00 01 11
```


## 6. 按位左移操作 <<

`num << i` 将`num`的二进制表示向左移动`i`位所得的值。

```python
00 00 10 11 -> 11
11 << 3
---
01 01 10 00 -> 88 
```

## 7. 按位右移操作 >>

`num >> i` 将`num`的二进制表示向右移动`i`位所得的值。
```python
00 00 10 11 -> 11
11 >> 2
---
00 00 00 10 -> 2 
```

## 8. 利用位运算实现快速计算

通过 `<<`，`>>` 快速计算2的倍数问题。
```
n << 1 -> 计算 n*2
n >> 1 -> 计算 n/2，负奇数的运算不可用
n << m -> 计算 n*(2^m)，即乘以 2 的 m 次方
n >> m -> 计算 n/(2^m)，即除以 2 的 m 次方
1 << n -> 2^n
```

通过 `^` 快速交换两个整数。
```c
a ^= b
b ^= a
a ^= b
```

通过 `a & (-a)` 快速获取`a`的最后为 1 位置的整数。

```c
00 00 01 01 -> 5
&
11 11 10 11 -> -5
---
00 00 00 01 -> 1

00 00 11 10 -> 14
&
11 11 00 10 -> -14
---
00 00 00 10 -> 2
```


## 9. 利用位运算实现整数集合

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。

比如集合 `{1, 3, 4, 8}`，可以表示成 `01 00 01 10 10` 而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

元素与集合的操作：
```
a | (1<<i)  -> 把 i 插入到集合中
a & ~(1<<i) -> 把 i 从集合中删除
a & (1<<i)  -> 判断 i 是否属于该集合（零不属于，非零属于）
```

集合之间的操作：
```c
a 补   -> ~a
a 交 b -> a & b
a 并 b -> a | b
a 差 b -> a & (~b)
```


注意：整数在内存中是以补码的形式存在的，输出自然也是按照补码输出。

【例子】C#语言输出负数。

```c
class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        string s1 = Convert.ToString(-3, 2);
        Console.WriteLine(s1); 
        // 11111111111111111111111111111101
        
        string s2 = Convert.ToString(-3, 16);
        Console.WriteLine(s2); 
        // fffffffd
    }
}
```

【例子】 Python 的`bin()` 输出。

```python
print(bin(3))  # 0b11
print(bin(-3))  # -0b11

print(bin(-3 & 0xffffffff))  
# 0b11111111111111111111111111111101

print(bin(0xfffffffd))       
# 0b11111111111111111111111111111101

print(0xfffffffd)  # 4294967293
```

是不是很颠覆认知，我们从结果可以看出：

- Python中`bin`一个负数（十进制表示），输出的是它的原码的二进制表示加上个负号，巨坑。
- Python中的整型是补码形式存储的。
- Python中整型是不限制长度的不会超范围溢出。

所以为了获得负数（十进制表示）的补码，需要手动将其和十六进制数`0xffffffff`进行按位与操作，再交给`bin()`进行输出，得到的才是负数的补码表示。

---
**练习题**：

leetcode 习题 136. 只出现一次的数字

给定一个**非空**整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

尝试使用位运算解决此题。

题目说明:

```python
"""
Input file
example1: [2,2,1]
example2: [4,1,2,1,2]

Output file
result1: 1
result2: 4
"""



class Solution:
    def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        
     # your code here
```

