## 题目

> - 题号：62
> - 难度：中等
> - https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

![问题](https://img-blog.csdnimg.cn/20190912160514978.png)

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

<b>说明</b>：m 和 n 的值均不超过 100。

<b>示例 1</b>:
```c
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
```

<b>示例 2</b>:
```c
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
```

<b>示例 3</b>:
```c
输入: m = 23, n = 12
输出: 193536720
```




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## 实现

<b>第一种：利用递归</b>

```c
public class Solution
{
    private int _m;
    private int _n;
    public int UniquePaths(int m, int n)
    {
        _m = m;
        _n = n;
        int count = 0;
        RecordPaths(0, 0, ref count);
        return count;
    }
    private void RecordPaths(int i, int j, ref int count)
    {
        if (i == _m - 1 && j == _n - 1)
        {
            count++;
            return;
        }
        if (i < _m)
        {
            RecordPaths(i + 1, j, ref count);
        }
        if (j < _n)
        {
            RecordPaths(i, j + 1, ref count);
        }
    }
}
```

使用递归的方式，容易理解但会耗费大量的时间，所以在运行 示例3 的时候，超时了。

<b>第二种：利用动态规划</b>

动态规划表格01：

![表01](https://img-blog.csdnimg.cn/20190912160347481.png)

动态规划表格02：

![表02](https://img-blog.csdnimg.cn/20190912160424714.png)

动态规划的最优子结构为：`d[i,j] = d[i-1,j] + d[i,j-1]`

- 状态：通过
- 62 / 62 个通过测试用例
- 执行用时: 52 ms, 在所有 C# 提交中击败了 93.18% 的用户
- 内存消耗: 13.6 MB, 在所有 C# 提交中击败了 17.65% 的用户

```c
public class Solution
{
    public int UniquePaths(int m, int n)
    {
        int[,] memo = new int[m, n];
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                if (i == 0)
                {
                    memo[i, j] = 1;
                }
                else if (j == 0)
                {
                    memo[i, j] = 1;
                }
                else
                {
                    memo[i, j] = memo[i - 1, j] + memo[i, j - 1];
                }
            }
        }
        return memo[m - 1, n - 1];
    }
}
```

