diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md new file mode 100644 index 0000000..c81e39c --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.md @@ -0,0 +1,167 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 1.1 线性方程组的消元法 +- 1.1.1 引例 +- 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法 +- 1.1.3 矩阵的初等变换 +- 1.1.4 矩阵的基本概念 +- 1.1.5 练习 + +--- + +### 1.1.1 引例 + + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1+x_2+x_3=4 \\ +4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11\\ +8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\ +6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30 +\end{array}\right. +$$ + +==**概念：**== +1. 线性方程组等价 +2. 线性方程组的三种等价变换 +3. 高斯（Gauss）消元法 + +--- + +### 1.1.2 利用矩阵推演高斯消元法 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +4&3&3&1\\ +8&7&9&5\\ +6&7&9&8 +\end{bmatrix}, +x = \begin{bmatrix} +x_1\\ +x_2\\ +x_3\\ +x_4 +\end{bmatrix}, +b = \begin{bmatrix} +4\\ +11\\ +29\\ +30 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +B =\left(A,b \right) =\begin{bmatrix} +2&1&1&0&4\\ +4&3&3&1&11\\ +8&7&9&5&29\\ +6&7&9&8&30 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +==**概念：**== + +1. 系数矩阵 +2. 增广矩阵 +3. 线性方程组的矩阵表示 + +==**方法论**：== +1. 利用矩阵推演高斯消元法 + +--- + +### 1.1.3 矩阵的初等变换 + +==**概念：**== +1. 矩阵的初等变换 +2. 矩阵等价 + - 矩阵行等价（线性方程组等价） + - 矩阵列等价 +5. 矩阵等价的性质 + +--- + +### 1.1.4 矩阵的基本概念 + +==**概念：**== +1. 矩阵（Matrix）的定义 +2. 矩阵的表示 +3. 特殊矩阵 + + +--- +### 1.1.5 练习 + +1. 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵 + +$$ +\left( 1\right) +\left \{ +\begin{array}{c} +x_1-3x_2+4x_3=-4 \\ +3x_1-7x_2+7x_3=-8\\ +-4x_1+6x_2-x_3=7 +\end{array} +\right. +$$ + +$$ +\left( 2\right) +\left \{ +\begin{array}{c} +x_1-x_3=8 \\ +2x_1+2x_2+9x_3=7\\ +x_2+5x_3=-2 +\end{array} +\right. +$$ + +--- +（2）如果以下矩阵为某个线性方程组的增广矩阵，试写出其对应的线性方程组。 +$$ +\left( 1\right) +B =\begin{bmatrix} +2&1&-1&2\\ +3&-2&1&7\\ +1&-3&-2&-7 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\left( 2\right) +B =\begin{bmatrix} +0&1&1&1&0\\ +3&0&3&-4&7\\ +1&1&1&2&6\\ +2&3&1&3&6 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（3）已知某个线性方程组的增广矩阵已用初等行变换化成了如下形式： + +$$ +\begin{bmatrix} +1&-1&0&0&4\\ +0&1&-3&0&-7\\ +0&0&1&-3&-1\\ +0&0&0&2&4 +\end{bmatrix} +$$ + +试进行适当的行变换并求出原方程组的解。 + + + diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf new file mode 100644 index 0000000..40fe1a0 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.1 线性方程组的消元法.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md new file mode 100644 index 0000000..455fd94 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.md @@ -0,0 +1,161 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 1.2 方程组与矩阵 + +- 1.2.1 线性方程组的矩阵表示 +- 1.2.2 矩阵初等变换的应用 +- 1.2.3 练习 + +--- +### 1.2.1 线性方程组的矩阵表示 + +非齐次线性方程组： +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m +\end{array} +\right. +$$ + +$Ax=b$，是否有解问题，若有解是唯一解还是无穷多解。 + +--- +齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 +\end{array} +\right. +$$ + +$Ax=0$，是否有非零解问题。 + +==**概念**==： +1. 线性方程组的分类（非齐次，齐次） +2. 线性方程组的相容性 + +--- +### 1.2.2 矩阵初等变换的应用 + +（1）讨论方程组的相容性。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1-x_2-x_3+x_4=2 \\ +x_1+x_2-2x_3+x_4=4\\ +4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4\\ +3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9 +\end{array} +\right. +$$ + +--- +（2）讨论方程组的相容性。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +x_2+4x_3=-5 \\ +x_1+3x_2+5x_3=-2\\ +3x_1+7x_2+7x_3=6 +\end{array} +\right. +$$ + +（3）当$h$和$k$取何值时，下列方程相容。 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1-x_2=h \\ +-6x_1+3x_2=k +\end{array} +\right. +$$ + +--- +==**概念：**== +1. 行阶梯形 +2. 行最简形 +3. 线性方程组的通解 +4. 标准形 +5. 矩阵的秩 + + +--- +### 1.2.3 练习 + +（1）下列矩阵哪些是行最简形，哪些不是行最简形，并将不是行最简形的矩阵采用初等行变换将其化为行最简形。 + +$$ +\left( 1\right) +\begin{bmatrix} +1&0&0&2\\ +0&1&0&3\\ +0&0&1&5 +\end{bmatrix}, +\left( 2\right) +\begin{bmatrix} +1&1&0&0\\ +0&1&1&0\\ +0&0&1&1 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\left( 3\right) +\begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +1&1&0&0\\ +0&1&1&0\\ +0&0&1&1 +\end{bmatrix}, +\left( 4\right) +\begin{bmatrix} +0&1&1&1&1\\ +0&0&2&2&2\\ +0&0&0&0&3\\ +0&0&0&0&0 +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（2）指出矩阵$A=\begin{bmatrix}0&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&2&3\end{bmatrix}$的先导列和主元列。 + +（3）主元位置上的元素就是主元。（⨉） + + +==**注意**：== + +- 先导列，行首非零元所在列；主元列，对应行阶梯形的先导列。 +- 先导列可以相同，主元列一定不同；先导列一看便知，主元列需要计算才能确定。 + + +--- +==**概念**== +1. 先导元 +2. 先导列 +3. 主元位置 +4. 主元列 +5. 主元 + diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf new file mode 100644 index 0000000..fb40b07 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.2 方程组与矩阵.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md new file mode 100644 index 0000000..bf3f4a0 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第01章 线性方程组/1.3 矩阵的秩及方程组解的判别.md @@ -0,0 +1,86 @@ + + +# 第一章 线性方程组 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 1.3 矩阵的秩及方程组解的判别 + +- 1.3.1 矩阵的秩 +- 1.3.2 线性方程组解的存在性 +- 1.3.3 线性方程组的解法 +- 1.3.4 练习 + +--- +### 1.3.1 矩阵的秩 + +==**概念：**== + +1. 矩阵秩的定义 +2. 矩阵秩的性质 + +- $A=0$，则$R(A)=0$ +- $A \sim B$，则$R(A)=R(B)$ +- $R(A_{m \times n})\leq min(m,n)$ + +--- +### 1.3.2 线性方程组解的存在性 + +==**定理**==：$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$有非零解的充要条件。 + + +==**定理**==：$n$元非齐次线性方程组$A_{m\times n}x=b$有解的充要条件。 + +--- +### 1.3.3 线性方程组的解法 + +==**方法论：**== + +1. 线性方程组的解法 + +**Step01**：系数矩阵$A$（增广矩阵$(A,b)$）化行阶梯形。 +**Step02**：判断方程组是否有非零解$R(A) + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 2.1 矩阵的基本运算 +- 2.1.1 矩阵的加法 +- 2.1.2 矩阵的数乘 +- 2.1.3 矩阵的乘法 +- 2.1.4 方阵的乘幂 +- 2.1.5 方阵的迹 +- 2.1.6 矩阵的转置 + +--- + +### 2.1.1 矩阵的加法 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +C=A+B = (c_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵加法的定义 +2. 矩阵减法的定义 +3. 矩阵加法的运算律 + +--- + +### 2.1.2 矩阵的数乘 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +\lambda A = A\lambda= (\lambda a_{ij})_{m\times n} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵数乘的定义 +2. 矩阵数乘的运算律 +3. 矩阵的线性运算 + +--- +### 2.1.3 矩阵的乘法 + +$$ +A = (a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n} +$$ + +$$ +C=A\times B = (c_{ij})_{m\times n} +$$ + +$$ +c_{ij}=\sum^{s}_{k = 1}{a_{ik}\times b_{kj}},i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n +$$ + + + +--- + +（1）计算$A\times B$和$B \times A$。 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +-2&4\\ +1&-2 +\end{bmatrix}, +B = \begin{bmatrix} +2&4\\ +-3&-6 +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵乘法的定义 +2. 矩阵乘法的运算律 +3. 特殊的矩阵乘法 + +--- + +### 2.1.4 方阵的乘幂 + + +$$ +A^k_{n\times n} = A\times A \cdots \times A +$$ + + + +（1）计算$A^3$，其中$A= \begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&1 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。 + + +（2）计算$A^2$，其中$A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&0&0 \\0&0&0 \end{bmatrix}$。 + + +--- + +==**概念：**== +1. 方阵乘幂的定义 +2. 方阵乘幂的性质 +3. 幂零矩阵的定义 +4. 幂等矩阵的定义 + + +--- + +### 2.1.5 方阵的迹 + +$$ +A = (a_{ij})_{n\times n} +$$ + +$$ +tr(A) = a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} = \sum^{n}_{i=1}{a_{ii}} +$$ + + +==**证明：**==$tr(AB)=tr(BA)$。 + +==**证明：**==$tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)$。 + + +--- +==**概念：**== +1. 方阵迹的定义 +2. 方阵迹的相关定理与推论 + + + +--- +### 2.1.6 矩阵的转置 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +1&2&3&4\\ +4&3&2&8\\ +7&3&8&2 +\end{bmatrix}, +A^T=\begin{bmatrix} +1&4&7\\ +2&3&3\\ +3&2&8\\ +4&8&2 +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵转置的定义 +2. 对称矩阵与反对称矩阵 +3. 矩阵转置的性质 + + +--- +==**证明：**== +1. $(A\times B)^T=B^T\times A^T$。 +2. 对任何矩阵$A_{m\times n}$，$A^TA$与$AA^T$均为对称矩阵。 +3. 任意$n$阶方阵都可分解为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 +4. 设$A,B$都是对称矩阵，证明$AB$为对称矩阵的充要条件是$AB=BA$。 diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf new file mode 100644 index 0000000..4b6ef27 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.1 矩阵的基本运算.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md new file mode 100644 index 0000000..54a510a --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.md @@ -0,0 +1,214 @@ + + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + + +--- + + +## 2.2 分块矩阵及运算 + +- 2.2.1 分块矩阵的定义 +- 2.2.2 分块矩阵的运算 +- 2.2.3 分块矩阵的应用 +- 2.2.4 练习 + +--- +### 2.2.1 分块矩阵的定义 + +$$ +A= +\left[ +\begin{array}{ccc|cc|c} +3 & 0 & -1 & 5 & 9 & -2 \\ +-5 & 2 & 4 & 0 & -3 & 1 \\ +- - &- -&- -&- -&- -&- -\\ +-8 & -6 & 3 & 1 & 7 & -4 +\end{array} +\right] +$$ +$$ += \begin{bmatrix} +A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ +A_{21}&A_{22}&A_{23} +\end{bmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 子块的概念 +2. 分块矩阵的定义 + +--- + +### 2.2.2 分块矩阵的运算 + +（1）分块矩阵的加法 + +
+
+
+
+ +--- +（2）分块矩阵的数乘 + +$$ +A_{m\times n} = \begin{bmatrix} +A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ +\vdots&&\vdots&\\ +A_{s1}&\cdots&A_{sr} +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\lambda A = \begin{bmatrix} +\lambda A_{11}&\cdots&\lambda A_{1r}\\ +\vdots&&\vdots&\\ +\lambda A_{s1}&\cdots&\lambda A_{sr} +\end{bmatrix} +$$ + +--- +（3）分块矩阵的转置 + +
+
+
+
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+ +--- +（4）分块矩阵的乘法 + +
+
+
+
+
+
+
+ + +--- +例子：利用分块法求$AB$。 + +
+ +

分块方式如下：

+ + +
+ + + +--- +==**概念：**== +1. 分块矩阵的加法 +2. 分块矩阵的数乘 +3. 分块矩阵的转置 +4. 分块矩阵的乘法 + + +--- +### 2.2.3 分块矩阵的应用 + +（1）齐次线性方程组的分块表示 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 +\end{array} +\right. +$$ + +- 利用矩阵表示：$Ax=0$ +- 利用列向量表示：$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 +\cdots+\alpha_nx_n=0$ +- 利用行向量表示：$\alpha_i^Tx=0,i=1,2,\cdots,m$ + +--- +（2）非齐次线性方程组的分块表示 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m +\end{array} +\right. +$$ + +- 利用矩阵表示：$Ax=b$ +- 利用列向量表示：$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=b$ +- 利用行向量表示：$\alpha_i^Tx=b_i,i=1,2,\cdots,m$ + +--- +（3）矩阵乘法的分块 + +$$ +A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s} +$$ + +==**分块策略：**== +- 对$B$按列分块的讨论 +- 对$A$按列分块的讨论 +- 对$B$按行分块的讨论 +- 对$A$按行分块的讨论 + +--- +（4）对角矩阵的分块 + + +$$ +A_{m\times n} \times \Lambda += +\begin{bmatrix} +\lambda_1 \alpha_1&\lambda_2 \alpha_2\cdots\lambda_n\alpha_n +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +\Lambda \times A_{m \times n} = \begin{bmatrix} +\lambda_1 \alpha_1^T\\ +\lambda_2 \alpha_2^T\\ +\cdots\\ +\lambda_m\alpha_m^T +\end{bmatrix} +$$ + + +（5）定理与推论 + +定理：若$m\times n$矩阵满足$A^TA=0$，则$A=0$。 + +推论：若$m\times n$矩阵满足$tr(A^TA)=0$，则$A=0$。 + + +--- +### 2.2.4 练习 + +画出如下矩阵分隔线使每个矩阵分成四块： + + +
+
+ +
+ +
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\ No newline at end of file diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf new file mode 100644 index 0000000..7e6d447 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.2 分块矩阵及运算.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md new file mode 100644 index 0000000..2190c33 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.md @@ -0,0 +1,377 @@ + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + + +## 2.3 逆矩阵 +- 2.3.1 逆矩阵的概念 +- 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性 +- 2.3.3 逆矩阵的性质 +- 2.3.4 逆矩阵的求解 +- 2.3.5 练习 + +--- + +### 2.3.1 逆矩阵的概念 + + +$$ +A_{n \times n}\times B_{n \times n} = B_{n \times n} \times A_{n \times n} = E +$$ + +$$ +A^{-1} = B +$$ + + +==**概念：**== +1. 奇异矩阵 +2. 非奇异矩阵（可逆矩阵） + +--- + +### 2.3.2 逆矩阵的唯一性与存在性 + +定理：逆矩阵是唯一的。 +
+ +**线性方程组中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：** + +- 定理：若$A$可逆，则$Ax=b$只有唯一解$x=A^{-1}b$。 +- 定理：若$A$可逆，则$Ax=0$只有零解。 + + +--- + +**矩阵方程中$A$为可逆矩阵，满足以下定理：** + +- 定理：若$A$可逆，则$AX=B$只有唯一解$X=A^{-1}B$。 +- 定理：若$A$可逆，则$AX=0$只有零解。 + + +--- + +**方阵$A$可逆的一组充要条件：** + +- 定理：$Ax=0$只有零解$\Leftrightarrow R(A)=n$。 +- 定理：$A$为方阵且$A \sim E \Leftrightarrow R(A)=n$。 +- 定理：$A$可逆$\Leftrightarrow R(A)=n$。 +
+ +推论：若$AB=E$，则$A,B$均可逆，且$A^{-1}=B$，$B^{-1}=A$。 + +--- +例题： + +1）设$A=\begin{bmatrix} 3&-2&0&-1\\0&2&2&1\\1&-2&-3&-2\\0&1&2&1\end{bmatrix}$，求$A$的标准型。 + +--- +### 2.3.3 逆矩阵的性质 + +**性质**：若$A$可逆，则$A^{-1}$可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$。 + +**性质**：若$A$可逆，$\lambda \neq 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}$。 + +**性质**：若$A$可逆，则$A^{T}$可逆，$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$。 + +**性质**：若$A,B$为同阶的可逆矩阵，则$AB$也可逆且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。 + +--- +**性质**：若 $A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$不等于0，则 + +$$A^{-1} = diag(\frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2},\cdots,\frac{1}{\lambda_n})$$ + +$$A^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k),k\in N$$ + +注意： +1. $A^0 = E$ +2. $A^{-k}=(A^{-1})^{k}$ + + +--- + +例题： + +1）设方阵$A$满足$A^3-A^2+2A-E=0$，证明$A$及$E-A$均可逆，并求$A^{-1}$和$(E-A)^{-1}$。 + +2）设$A,B$均为$n$阶方阵，若$E-AB$可逆，则$E-BA$也可逆，求$(E-BA)^{-1}$。 + + +3）设$A$为$n$阶方阵且$ABC=E$，则____。 + +  A. $ACB=E$ +  B. $CBA=E$ +  C. $BAC=E$ +  D. $BCA=E$ + +--- +==**概念：**== + +1. 逆矩阵的唯一性 +2. 逆矩阵的存在性 +3. 逆矩阵的性质 + + + + +--- +### 2.3.4 逆矩阵的求解 + + +（1）初等方阵的定义 + +初等方阵 +- 对换变换：$E[i,j]$ +- 倍乘变换：$E[i(k)]$, $k$不等于0 +- 倍加变换：$E[i,j(k)]$ + +--- +注：初等方阵是可逆的 +- $E^{-1}[i,j]=E[i,j]$ +- $E^{-1}[i(k)]=E[i(\frac{1}{k})]$，$k \neq 0$ +- $E^{-1}[i,j(k)]=E[i,j(-k)]$ + + +--- +例题： + + +$$ +A= \begin{bmatrix} +a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ +a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ +a_{31} & a_{32} & a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +计算： +- $A\times E[1,3],A\times E[2(k)],A\times E[1,3(k)]$ +- $E[1,3]\times A,E[2(k)]\times A,E[1,3(k)]\times A$ + + +--- + +（2）初等方阵的相关定理 + +定理：$A_{m\times n}$，$A$左乘初等方阵，相当于实施一次初等行变换；右乘初等方阵，相当于实施一次初等列变换。 + +定理：$A$可逆，$A$可看作有限个初等方阵的乘积。$A=P_1\times P_2\times \cdots P_n$。 + +定理：$A_{m\times n} \sim B_{m\times n} \Leftrightarrow PAQ=B$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。 + + +--- +推论：$A_{m \times n}$，$A = P\begin{bmatrix} E_{r}&0\\ 0&0 \end{bmatrix}Q$，$P_{m\times m},Q_{n\times n}$可逆矩阵。 + + +推论：若$P,Q$可逆，则$R(PAQ)=R(A)$。 + +推论：$R(A)=R(A^T)$。 + + +--- +（3）初等方阵的应用 + +**利用初等方阵求方阵的逆矩阵** + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A&E +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&A^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + +
+初等列变换： + +$$ +\begin{bmatrix} +A\\E +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E\\ +A^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + + +--- +**利用初等方阵求解矩阵方程。** + +$AX=B$，若$A$可逆，则$X=A^{-1}B$。 + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A&B +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&A^{-1}B +\end{bmatrix} +$$ + +--- +$XA=B$，若$A$可逆，则$X=BA^{-1}$。 + +初等列变换： + +$$ +\begin{bmatrix} +A\\B +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E\\ +BA^{-1} +\end{bmatrix} +$$ + +$XA=B$，若$A$可逆，则$A^TX^T=B^T$即$X=[(BA^{-1})^T]^T$。 + +初等行变换： +$$ +\begin{bmatrix} +A^T&B^T +\end{bmatrix} +\sim +\begin{bmatrix} +E&(BA^{-1})^T +\end{bmatrix} +$$ + +--- + +==**概念：**== + +1. 初等方阵 +2. 初等方阵的性质 + +==**方法论：**== +1. 利用初等方阵求逆矩阵 +2. 利用初等方阵求矩阵方程的解 + +--- +### 2.3.5 练习 + +（1）设$AX=B$，求$X$，其中 + +$$ +A = \begin{bmatrix} +1&2&3\\ +2&2&1\\ +3&4&3 +\end{bmatrix} +,B = \begin{bmatrix} +2&5\\ +3&1\\ +4&3 +\end{bmatrix} +$$ + + +--- +（2）设 + +$$ +P = \begin{bmatrix} +0&0&1\\ +0&1&0\\ +1&0&0 +\end{bmatrix} +,A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +且$P^mAP^n=A$，则$m=$ ___，$n=$ ___。 + +A. $m=5,n=4$ +B. $m=5,n=5$ +C. $m=4,n=5$ +D. $m=4,n=4$ + + +--- + +（3） +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ +a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} +\end{bmatrix} +,P_1 = \begin{bmatrix} +0&0&0&1\\ +0&1&0&0\\ +0&0&1&0\\ +1&0&0&0 +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +B = \begin{bmatrix} +a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\\ +a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{21}\\ +a_{34}&a_{33}&a_{32}&a_{31}\\ +a_{44}&a_{43}&a_{42}&a_{41} +\end{bmatrix} +,P_2 = \begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +0&0&1&0\\ +0&1&0&0\\ +0&0&0&1 +\end{bmatrix} +$$ + +其中，$A$可逆，则$B^{-1}=$___。 + +--- + +A. $A^{-1}P_1P_2$ +B. $P_1A^{-1}P_2$ +C. $P_1P_2A^{-1}$ +D. $P_2A^{-1}P_1$ + + +（4）设$A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}$均为$n$阶可逆矩阵，则$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=$______。 + +A. $A^{-1}+B^{-1}$ +B. $A+B$ +C. $A(A+B)^{-1}B$ +D. $(A+B)^{-1}$ + + +--- +（5）设$A,B$均可逆，求下列分块矩阵的逆矩阵。 + +$$ +\begin{bmatrix} +A&C\\ +0&B +\end{bmatrix}^{-1}, +\begin{bmatrix} +A&0\\ +C&B +\end{bmatrix}^{-1} +$$ + + +（6）已知$P=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}$，$\Lambda=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}$，$A=P\Lambda P^{-1}$求$P(A)=A^3 +5A^2+E$。 + + + diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf new file mode 100644 index 0000000..4c20c7e Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.3 逆矩阵.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md new file mode 100644 index 0000000..2b36f47 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.md @@ -0,0 +1,571 @@ + + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 2.4 方阵的行列式 +- 2.4.1 方阵行列式的定义 +- 2.4.2 方阵行列式的性质 +- 2.4.3 行列式按行按列展开 +- 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则 +- 2.4.5 练习 + +--- +### 2.4.1 方阵行列式的定义 + +**（1）全排列** + +用 1,2,3 三个数可以排成6个不重复的三位数。 + +> 123; 132; 213; 231; 312; 321 + + +==**概念：**== +1. 全排列 + +--- + +**（2）逆序数及其计算** + +标准顺序：$123 \cdots n$ + +排列：$P_1 P_2 \cdots P_n$ + +令 $l_i$为大于$P_i$且排在$P_i$前面元素的个数。 + +$$ +l=\sum_{i=1}^{n} l_{i} +$$ + + + +--- + +==**概念：**== +1. 标准次序 +2. 逆序 +3. 逆序数 +4. 奇排列 +5. 偶排列 + + +==**方法论：**== +1. 逆序数的计算 + +--- + +例子： + +- 排列：32514，逆序数为5，奇排列 +- 排列：31524，逆序数为4，偶排列 + +
+ +定理：一个排列中任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变。 + +==**概念：**== +1. 对换 + +--- +**（3）行列式** + + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ +$$ += \sum(-1)^\tau a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} +$$ + +$$ += \sum(-1)^{\tau '} a_{q_11}a_{q_22}\cdots a_{q_nn} +$$ + + +--- + +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{bmatrix} +$$ + +$$ +|A|=det(A)= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ +a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ +a_{31}&a_{32}&a_{33} +\end{vmatrix} +$$ + +==**概念：**== +1. 行列式 +2. 方阵的行列式 +3. 几种特殊的行列式 + +--- +### 2.4.2 方阵行列式的性质 + + +**（1）转置行列式** + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +$$ +D^T= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ +a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- +**（2）行列式的性质** + +**性质**：行列式与转置行列式相等。 + +**性质**：互换行列式的两行或两列行列式变号。 + +**推论**：如果行列式有两行或两列完全相同，那么此行列式为零。 + + +--- +**性质**：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘以此行列式。 + +**推论**：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 + +**性质**：行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 + +--- + +**性质**：行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则$D$等于下列两行列式之和，即： + +$$ +D= \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + + +$$ += \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix}+ +\begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- +性质：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数，然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。 + +性质：$A$是方阵$|\lambda A|=\lambda^n|A|$。 + +推论： + +$$ +\begin{vmatrix} +A_{k\times k}&0\\ +*&B_{n\times n} +\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + +$$ +\begin{vmatrix} +A_{k\times k}&*\\ +0&B_{n\times n} +\end{vmatrix}=|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + +--- +$$ +\begin{vmatrix} +0&A_{k\times k}\\ +B_{n\times n}&* +\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + + +$$ +\begin{vmatrix} +*&A_{k\times k}\\ +B_{n\times n}&0 +\end{vmatrix}=(-1)^{k\times n}|A_{k\times k}|\times|B_{n\times n}| +$$ + + +性质：$|AB|=|A||B|$，$A,B$为$n$阶方阵。 + + +性质：$|A^k|=|A|^k$ + +性质：$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，$|A|$不等于0。 + + +--- +例题： + +1）计算：$D = \begin{vmatrix}3&1&1&1\\ +1&3&1&1\\ +1&1&3&1\\ +1&1&1&3 +\end{vmatrix} +$ + + +2）已知1632，2160，3696，5024都可被16整除，不经计算，证明$D = \begin{vmatrix} +1&6&3&2\\ +2&1&6&0\\ +3&6&9&6\\ +5&0&2&4 +\end{vmatrix} +$可被16整除。 + +--- +3）证明： + +$$ +\begin{vmatrix} +ax+by&ay+bz&az+bx\\ +ay+bz&az+bx&ax+by\\ +az+bx&ax+by&ay+bz +\end{vmatrix} +$$ +$$ +=(a^3+b^3)\begin{vmatrix} +x&y&z\\ +y&z&x\\ +z&x&y +\end{vmatrix} +$$ + +4）设$A,B$均为$n$阶方阵，且$A^TA=E,B^TB=E$,$\frac{|A|}{|B|}=-1$，则$|A+B|=0$。 + +--- + +==**概念：**== +1. 转置的行列式 +2. 行列式的性质 + + +--- +### 2.4.3 行列式按行按列展开 + +（1）余子式与代数余子式 + +在$n$阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在第$i$行和第$j$列划去后，留下的$n-1$阶行列式叫作元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。$a_{ij}$的代数余子式记作$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。 + +--- +（2）行列式按行（列）展开定理 + +**引理**：设$D$为$n$阶行列式，如果$D$的第$i$行所有元素除$a_{ij}$外，其余元素均为零，那么行列式$D$等于$a_{ij}$与其代数余子式的乘积，即$D=a_{ij}A_{ij}$。 + + +**定理（拉普拉斯展开）**：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和，即$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$。 + +> 拉普拉斯（Laplace），法国著名天文学家，数学家。 + + +--- +**推论**：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即： + +$$ +a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0, i\neq j +$$ + +$$ +a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0, i\neq j +$$ + +综上所述： + +$$ +\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\begin{cases} +D, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +$$ +\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=\begin{cases} +D, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +--- +范德蒙行列式： + +$$ +\begin{vmatrix} +1&1&\cdots&1\\ +x_1&x_2&\cdots&x_n\\ +x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ +x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} +\end{vmatrix}=\prod_{n \geq i>j\geq1}(x_i-x_j) +$$ + +> 范德蒙（Vandermonde），法国数学家。 + +--- + +例题： + +1）设$D$为四阶行列式，第 2 行元素 $1,3,a,4$ 而第 4 行元素余子式为 $2,0,-1,1$，求$a$。 + + +2）求$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$，其中$A_{41},A_{42},A_{43},A_{44}$是$D$的第4行元素的代数余子式。 + +$$ +D = \begin{vmatrix} +1&2&3&4\\ +1&1&1&1\\ +2&3&4&5\\ +5&4&2&3 +\end{vmatrix} +$$ + + +--- + +==**概念：**== +1. 余子式 +2. 代数余子式 +4. 范德蒙行列式 + +==**方法论：**== +1. 行列式按行（列）展开 + + +--- +### 2.4.4 伴随矩阵与克拉默法则 + +（1）伴随矩阵 + +定理：方阵$A$可逆 $\Leftrightarrow |A|$不等于$0$，$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$，其中 + +$$ +A^{*}=\begin{bmatrix} +A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ +A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ +\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ +A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} +\end{bmatrix} +$$ + +$A^*$为$A$的伴随矩阵，$A^*$中的元素是$A$的所有元素的代数余子式。 + +--- +例题：若$|A|$不等于$0$，求证 + +1）$|A^*|=|A|^{n-1}$ + +2）$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$ + +3）$(A^*)^T=(A^T)^*$ + +4）$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$ + +5）$(kA)^*=k^{n-1}A^*$，$k \neq 0$ + +--- +例题： + +1）设$n$阶矩阵$A$的伴随矩阵为$A^*$，证明若$|A|=0$，则$|A^*|=0$。 + +2）设$A$为3阶方阵，且$|A|=2$，计算$|3A^{-1}-2A^*|$和$|3A-(A^*)^*|$。 + +3）设$A$为$n$阶方阵，则____。 + +  A. $(-A)^*=(-1)^{n+1}A^*$ +  B. $(-A)^*=-A^*$ +  C. $(-A)^*=(-1)^{n}A^*$ +  D. $(-A)^*=A^*$ + +--- +（2）克拉默法则 + +非齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ +\cdots\\ +a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n +\end{array} +\right.(a) +$$ + +系数矩阵： +$$ +A = \begin{bmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{bmatrix} +$$ + +--- +定理：若$(a)$的系数行列式$|A|\neq 0$，则线性方程组有唯一解。$x_j=\frac{D_j}{D},j=1,2,\cdots,n$ + +$$ +D=|A| +$$ + +$$ +D_j=\begin{vmatrix} +a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ +a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + + + +定理：如果线性方程组$(a)$无解或有多个解，则它的系数行列式$D=0$。 + +--- + +齐次线性方程组： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 +\end{array} +\right.(b) +$$ + +系数行列式： + +$$ +D = \begin{vmatrix} +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ +\vdots&\vdots& &\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} +\end{vmatrix} +$$ + +--- + +定理：若$(b)$的系数行列式$D\neq 0$，则$(b)$没有非零解（只有零解）。 + +定理：若$(b)$有非零解，则它的系数行列式必为零。 + + +--- +例题： + +1）问$\lambda$在什么条件下$ +\left \{ +\begin{array}{c} +\lambda x_1+x_2=0 \\ +x_1+\lambda x_2=0 +\end{array} +\right. +$有非零解。 + + +2）设方程组 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +x+y+z=a+b+c \\ +ax+by+cz=a^2+b^2+c^2 \\ +bcx+cay+abz=3abc +\end{array} +\right. +$$ + +问$a,b,c$满足什么条件时，方程组有唯一解，并求出该解。 + +--- +==**概念**：== +1. 伴随矩阵 +2. 伴随矩阵的性质 + + +==**方法论：**== +1. 利用克拉默法则求解线性方程组 + + +--- +### 2.4.5 练习 + +（1）证明：奇数阶反对称矩阵的行列式等于零。 + +（2）设$\alpha,\beta,\gamma$为互不相等的实数，证明 + +$$ +\begin{vmatrix}1&1&1\\\alpha&\beta&\gamma\\\alpha^3&\beta^3&\gamma^3\end{vmatrix}=0 +$$ + +的充分必要条件是$\alpha+\beta+\gamma=0$ + + +--- +（3）计算 + +$$ +D_n=\begin{vmatrix} +x&a&a&\cdots&a&a\\ +-a&x&a&\cdots&a&a\\ +-a&-a&x&\cdots&a&a\\ +\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ +-a&-a&-a&\cdots&-a&x +\end{vmatrix} +$$ + + + + +（4）设3阶方阵$A=(a,c_1,c_2),B=(b,c_1,c_2)$且$|A|=3,|B|=5$，计算$|A+B|$。 + + + +（5）设$\alpha^T=(1,2,3),\beta^T=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，令$A=\alpha \times \beta^T$，求$A^n$及$|A^n|$。 \ No newline at end of file diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf new file mode 100644 index 0000000..6f53c36 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.4 方阵的行列式.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md new file mode 100644 index 0000000..3306c95 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.md @@ -0,0 +1,95 @@ + + +# 第二章 矩阵及其运算 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + + +--- + + +## 2.5 矩阵LU分解 +- 2.5.1 $LU$分解的概念 +- 2.5.2 $LU$分解的应用 + +--- +### 2.5.1 $LU$分解的概念 + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +2x_1+x_2+x_3=4 \\ +4x_1+3x_2+3x_3+x_4=11 \\ +8x_1+7x_2+9x_3+5x_4=29\\ +6x_1+7x_2+9x_3+8x_4=30 +\end{array} +\right. +$$ + +$$ +A=\begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +1&3&3&1\\ +8&7&9&5\\ +6&7&9&8 +\end{bmatrix},A=LU +$$ + +--- +$$ +L=\begin{bmatrix} +1&0&0&0\\ +2&1&0&0\\ +4&3&1&0\\ +3&4&1&1 +\end{bmatrix}, +U=\begin{bmatrix} +2&1&1&0\\ +0&1&1&1\\ +0&0&2&2\\ +0&0&0&2 +\end{bmatrix} +$$ + +矩阵的分解是把矩阵$A$表示成两个或多个矩阵的乘积。 + + +$A=LU$是关于高斯消元法的全新认知，也是最基础的矩阵分解。 + + +一般地，设$A$是$n$阶可逆矩阵，若存在$n$阶下三角形且主对角元素全为1的矩阵$L$，$U$是与$A$等价的上三角形矩阵，满足$A=LU$，则称为$A$的$LU$分解。 + +--- +### 2.5.2 $LU$分解的应用 + + +$$ +Ax=b,A=LU +$$ + +$$ +LUx=b,Ly=b,Ux=y +$$ + +==**概念：**== +1. 矩阵分解 + +==**方法论：**== +1. 矩阵的$LU$分解 +2. 利用矩阵$LU$分解求解线性方程组 + + + + + + + + + + + + + diff --git a/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf new file mode 100644 index 0000000..1b35fd9 Binary files /dev/null and b/LinearAlgebra/第02章 矩阵及其运算/2.5 矩阵LU分解.pdf differ diff --git a/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.1 基本概念.md b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.1 基本概念.md new file mode 100644 index 0000000..8888f04 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.1 基本概念.md @@ -0,0 +1,347 @@ + + +# 第三章 向量空间 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 3.1 基本概念 +- 3.1.1 向量的概念 +- 3.1.2 向量组的概念 +- 3.1.3 向量组之间的关系 +- 3.1.4 向量空间 +- 3.1.5 线性子空间 + + +--- +### 3.1.1 向量的概念 + +$n$维向量的定义： + +$$ +\alpha^T=(a_1,a_2,\cdots,a_n) +$$ + +$$ +\beta^T=(b_1,b_2,\cdots,b_n) +$$ + +$n$维向量的运算： + +1. $\alpha^T=\beta^T\Leftrightarrow a_i=b_i,i=1,2,\cdots,n$ +2. $\alpha^T \pm \beta^T = (a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,\cdots,a_n\pm b_n)$ +3. $k\alpha^T = (ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$，$k$为常数。 + + +--- +$n$维向量的运算律： + +1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$ +2. $\alpha+\beta+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$ +3. $kl\alpha=k(l\alpha)$ +4. $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$ +5. $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$ + +--- + +==**概念：**== +1. $n$维向量的定义 +2. $n$维向量的运算 +3. $n$维向量的运算律 + +--- +### 3.1.2 向量组的概念 + +向量组与矩阵一一对应 + +$$ +\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \leftrightarrow A_{m\times n}=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) +$$ + +$$ +\beta_1^T,\beta_2^T,\cdots \beta_m^T \leftrightarrow A_{m\times n}=\begin{bmatrix}\beta_1^T\\ \beta_2^T\\ \vdots \\ \beta_m^T\end{bmatrix} +$$ + +--- + +矩阵与线性方程组一一对应 + +$$ +(A,b) \leftrightarrow Ax=b +$$ + +$$ +A \leftrightarrow Ax=0 +$$ + +线性方程组与向量组一一对应 + + +$$ +\begin{aligned} +Ax=b \leftrightarrow A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),b \\ +\leftrightarrow \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2 +\cdots + \alpha_n x_n=b +\end{aligned} +$$ + +$$ +\begin{aligned} +Ax=0 \leftrightarrow A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) \\ +\leftrightarrow \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2 +\cdots + \alpha_n x_n=0 +\end{aligned} +$$ + +--- + +定理：$\beta$可由向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示$\Leftrightarrow R(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=R(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,b)$。 + +==**概念：**== +1. 向量组的概念 +2. 向量组、矩阵、线性方程组之间具有一一对应关系 +3. 线性组合、线性组合系数、线性表示 +4. 线性相关、线性无关 + + +--- +### 3.1.3 向量组之间的关系 + +注： + + +$$ +A:\begin{pmatrix} +1\\ +0\\ +0 +\end{pmatrix}, +B:\begin{pmatrix} +2\\ +0\\ +0 +\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix} +3\\ +0\\ +0 +\end{pmatrix} +$$ +向量组等价，但对应的矩阵不一定等价。 + + +==**概念：**== +1. 向量组$B$可由向量组$A$线性表示 +2. 向量组等价 + +--- +注： + + +$$ +A \times B= C +$$ + +- $C$的列向量组可由$A$的列向量组线性表示。 +- $C$的行向量组可由$B$的行向量组线性表示。 + +--- +注： + +$$ +PA=B,|P|\neq 0,P^{-1}B=A +$$ + +- $A$与$B$行向量组等价。 + + + +$$ +AP=B,|P|\neq 0,BP^{-1}=A +$$ + +- $A$与$B$列向量组等价。 + +--- +定理：向量组$B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$可由向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表示$\Leftrightarrow R(A)=R(A,B)$。即$AX=B$有解$\Leftrightarrow R(A)=R(A,B)$。 + +推论：向量组$B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$与向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$等价$\Leftrightarrow R(A)=R(B)=R(A,B)$。 + +定理：若$AB=C$，则$R(C)\leq min\lbrace R(A),R(B)\rbrace$。 + +--- + + +例子： + +（1）已知两个向量组 + + +$$ +\alpha_1=\begin{bmatrix} +1\\ +2\\ +3 +\end{bmatrix}, +\alpha_2=\begin{bmatrix} +1\\ +0\\ +1 +\end{bmatrix}, +\beta_1=\begin{bmatrix} +-1\\ +2\\ +t +\end{bmatrix}, +\beta_2=\begin{bmatrix} +4\\ +1\\ +5 +\end{bmatrix} +$$ + +问$t=$_____时，两个向量组等价？ + +--- +### 3.1.4 向量空间 + +线性八条： + +设$V$是一个非空集合，$K$为实数或复数域，在$V$上定义加法和数乘两种运算，这些运算满足如下性质： + +$\forall \alpha,\beta,\gamma\in V;\lambda,\mu\in K$ + +1）加法和数乘封闭：$\alpha+\beta\in V; \lambda \alpha \in V$ + +2）加法交换律：$\alpha+\beta = \beta+\alpha$ + +3）加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$ + +--- +4）零元（唯一）：$V$中存在一个零元素0，使得$\alpha+0=\alpha$。 + +5）负元（唯一）：$\forall \alpha \in V, \exists -\alpha \in V$使得$\alpha-\alpha=0$ + +6）单位元：$1\alpha=\alpha$ + +7）数乘结合律：$(\lambda\mu)\alpha=\lambda(\mu\alpha)$ + +8）数乘分配率：$(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$，$\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$ + +--- +则称$V$是数域$K$上的向量空间（线性空间），$V$中的元素称为向量。 + +例子： + +（1）正实数的全体，记作$R^+$，构成向量空间。在其中定义的加法及数乘运算为： +- $a \bigoplus b=ab$, $(a,b\in R^+)$ +- $\lambda \bigotimes a = a^\lambda$, $\lambda\in R,a\in R^+$ + + +（2）只含有零向量的向量空间称为零空间。 + +--- +（3） + +- $V= \lbrace (x,y)^T|x,y\in R\rbrace$，$R^2$空间。 +- $V= \lbrace (x,y,z)^T|x,y,z\in R\rbrace$，$R^3$空间。 +- $V= \lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T|a_1,a_2,\cdots,a_n\in R\rbrace$，$R^n$空间。 + + +（4） + +- $V= \lbrace (0,x_2,x_3,\cdots,x_n)^T|x_2,x_3,\cdots,x_n\in R\rbrace$，为向量空间。 +- $V= \lbrace (1,x_2,x_3,\cdots,x_n)^T|x_2,x_3,\cdots,x_n\in R\rbrace$，不为向量空间。 + +--- +（5） + +已知$\lbrace \alpha_1,\alpha_2 \rbrace$，则$Span\lbrace \alpha_1,\alpha_2 \rbrace=\lbrace \lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2 | \lambda_1,\lambda_2 \in R \rbrace$为向量空间。 + +已知$\lbrace \alpha_1,\alpha_2\cdots\alpha_n \rbrace$，则$Span\lbrace \alpha_1,\alpha_2\cdots\alpha_n \rbrace$ +$=\lbrace \lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_n\alpha_n | \lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n \in R \rbrace$为向量空间。 + + +--- +（6） + +所有$m\times n$矩阵的集合构成一个线性空间。 + +（7） + +次数不超过$n$的多项式的全体，记为$P[x]_n$，对于通常的多项式加法，多项式的数乘构成线性空间。 + +$P[x]_n=\lbrace P=a_nx_n+a_{n-1}x_{n-1}+\cdots+a_1x_1+a_0$ +$|a_0,a_1,\cdots,a_n\in R\rbrace$ + +--- +（8） + +闭区间$[a,b]$上的连续实函数的全体记为$C[a,b]$。 + +设$f,g\in C[a,b],\lambda\in R$定义函数的加法和数乘： +- $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ +- $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ + +则$C[a,b]$构成一个线性空间。 + +--- + +**性质：** + +（1）满足消去律：若$\alpha+\beta=\alpha+\gamma$，则$\beta=\gamma$。 + +（2）零元素是唯一的。 + +（3）任意元素的负元素是唯一的。 + +（4）$0\alpha=0$，$\lambda 0=0$，$(-1)\alpha=-\alpha$ + +（5）如果$\lambda \alpha=0$，则$\lambda=0$或$\alpha=0$。 + +--- + +==**概念：**== +1. 向量空间（线性空间）的概念 +2. 零空间 +2. 向量空间的性质 + +--- + +### 3.1.5 线性子空间 + +设$V$是一个线性空间，$L$是$V$的一个非空子集，如果$L$对于$V$中所定义的加法和数乘运算也构成一个线性空间，则称$L$是$V$的子空间。 + +定理：线性空间$V$的非空子集$L$构成子空间$\Leftrightarrow L$对$V$中的线性运算封闭。 + + +==**概念：**== +1. 线性子空间 + +--- + +例子： + +（1）零空间是$V$的子空间。 + +（2）$P[x]_n$是$P[x]$的子空间。 + +（3）$A_{m\times n}x=0$的解空间是$R^n$的子空间。 + +（4）已知$\lbrace \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \rbrace$，$Span \lbrace \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \rbrace$为$R^n$的子空间。 + +--- +例子： + +（1）设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$与向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$等价，试证：$V_1=V_2$ + +$V_1=\lbrace x=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_m\alpha_m|\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in R\rbrace$ + +$V_2=\lbrace x=\mu_1\beta_1+\cdots+\mu_s\beta_s|\mu_1,\cdots,\mu_s\in R\rbrace$ + + +注意：等价的向量组张成的向量空间相等。 + diff --git a/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.2 线性相关与线性无关.md b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.2 线性相关与线性无关.md new file mode 100644 index 0000000..2825093 --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.2 线性相关与线性无关.md @@ -0,0 +1,314 @@ + + +# 第三章 向量空间 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + +--- + +## 3.2 线性相关与线性无关 +- 3.2.1 定义 +- 3.2.2 线性相关性基本定理 +- 3.2.3 线性相关性的判定 +- 3.2.4 向量组的秩 + + +--- +### 3.2.1 定义 + +给定向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，若存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$成立，则称向量组$A$线性相关，否则线性无关。 +- 线性相关$Ax=0$有非零解 +- 线性无关$Ax=0$只有零解 + + +--- +注意： + +（1）一个向量线性相关$\leftrightarrow$零向量。 + +（2）两个向量线性相关$\leftrightarrow$它们对应分量成比例。 + +（3）三个向量线性相关的几何意义：它们共面。 + + +==**概念：**== +1. 线性相关 +2. 线性无关 + +--- + +### 3.2.2 线性相关性基本定理 + +定理：向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m(m\geq 2)$线性相关$\Leftrightarrow$向量组中至少有一个向量可由其余的$m-1$个向量线性表示。 + +定理：设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\beta$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表示且表示式唯一。 + + +--- +例子： + +（1）设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是一组$n$维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任何一$n$维向量都可由它们线性表示。 + +（2）已知3阶矩阵$A$与3维列向量$x$满足$A^3x=3Ax-A^2x$且向量组$x,Ax,A^2x$线性无关。 +- 记$P=(x,Ax,A^2x)$求3阶矩阵$B$，使得$AP=PB$。 +- 求$|A|$。 + +--- + +### 3.2.3 线性相关性的判定 + +定理：向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关, +- $\Leftrightarrow Ax=0$有非零解。 +- $\Leftrightarrow R(A) + +# 第三章 向量空间 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + + +## 3.3 向量空间的基与维数，坐标，过渡矩阵 +- 3.3.1 向量空间的基与维数 +- 3.3.2 向量的坐标 +- 3.3.3 线性空间的同构 +- 3.3.4 基变换与坐标变换 + + + +--- +### 3.3.1 向量空间的基与维数 + +定义： + +设$V$为向量空间，如果$r$个向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r \in V$且满足： + +（1）$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关 +（2）$V$中任一向量都可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性表示 + +那么向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$就称为向量空间的基，$r$称为向量空间的维数$dim(V)=r$，并称$V$为$r$维向量空间。 + + +--- +注意： + +（1）只含有零向量的向量空间没有基，维数为0。 + +（2）若把向量空间$V$看作向量组，则$V$的基就是向量组的极大无关组，$V$的维数就是向量组的秩。 + +（3）向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$所生成的空间 +$$ +V = Span\lbrace \alpha_1,\cdots,\alpha_m \rbrace +$$ + +由于，$V$与$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$等价，所以，向量组的极大无关组就是$V$的一组基，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$的秩就是$V$的维数。 + + +--- +例子： + +（1） + +$R^2$的基：$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，2维 + +$R^3$的基：$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},e_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$，3维 + +--- +$R^n$的基： +$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\cdots,e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$，$n$维 + +（2）向量空间 + +$$ +V=\lbrace x=(0,x_2,x_3\cdots,x_n)^T |x_2,x_3,\cdots,x_n\in R\rbrace +$$ + +的基，$n-1$维。 + +--- +$e_1=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\cdots,e_{n-1}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$ + +（3）$R^{2\times 2}$的基，4维。 + +$$ +E_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} +$$ +$$ +E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} +$$ + +--- + +（4）$R^{3\times3}$对称矩阵的基（6维） + + +$$ +E_{1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix},E_{2}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix} +$$ + +$$ +E_{3}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix},E_{4}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} +$$ + +$$ +E_{5}=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix},E_{6}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} +$$ + + +--- + +==**概念：**== +- 向量空间的基 +- 向量空间的维数 + + +--- + +### 3.3.2 向量的坐标 + +定义： + +设$B=\lbrace \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \rbrace$是线性空间$V$的一组基，$\forall \alpha \in V$，总有且仅有一组有序数$x_1,x_2,\cdots,x_n$使得 +$$ +x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\alpha +$$ + +$x_1,x_2,\cdots,x_n$这组有序数，就称为$\alpha$在$B$这组基下的坐标，记作$[\alpha]_B=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$。 + +--- +例子： + +在线性空间$P[x]_4$中 + +$$ +B:p_1=1,p_2=x,p_3=x^2,p_4=x^3,p_5=x^4 +$$ + +是它的一组基，任一不超过4次的多项式 + +$$ +P=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 +$$ + +都可以表示为： + +$$ +P=a_0p_1+a_1p_2+a_2p_3+a_3p_4+a_4p_5 +$$ + +$$ +[P]_B=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)^T +$$ + +--- +若另外一组基 + +$$ +D:q_1=1,q_2=1+x,q_3=2x^2,q_4=x^3,q_5=x^4 +$$ + +$$ +P=(a_0-a_1)q_1+a_1q_2+\frac{1}{2}a_2q_3+a_3q_4+a_4q_5 +$$ + +$$ +[P]_D=(a_0-a_1,a_1,\frac{1}{2}a_2,a_3,a_4)^T +$$ + +==**概念：**== +- 向量的坐标 + + +--- +### 3.3.3 线性空间的同构 + +同构的定义： + +设$V$与$U$是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间$V$与$U$同构。 + + +$\forall \alpha,\beta\in V,\exists x,y \in U$。 + +$\alpha \leftrightarrow x$；$\beta \leftrightarrow y$ +$\alpha + \beta \leftrightarrow x+y$；$\lambda\alpha \leftrightarrow \lambda x$ + +--- +对应关系$T$，称为同构映射（双射）。 + +（1）元素一一对应： +$T(\alpha)=x;T(\beta)=y$ + +（2）保持线性组合的对应： +$T(\alpha+\beta)=T(\alpha)+T(\beta);T(\lambda\alpha)=\lambda T(\alpha)$ + +例子： + +令 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V_n$的一组基，则$V_n$与$R^n$同构。 + +$\forall \alpha \in V_n$则$\alpha=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n$ +同构映射：$T(\alpha)=(x_1,\cdots,x_n)^T$ + +--- + + +同构的性质（两个线性空间$V$与$U$的关系）： + +性质1：$T(0)=0$；$T(-\alpha)=-T(\alpha)$ + +性质2：保持线性组合 + + +$$ +T(k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n)=k_1T(\alpha_1)+\cdots+k_nT(\alpha_n) +$$ + +性质3：保持线性相关性 + +若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，则$T(\alpha_1),T(\alpha_2),\cdots,T(\alpha_n)$线性相关。 + +若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则$T(\alpha_1),T(\alpha_2),\cdots,T(\alpha_n)$线性无关。 + + +--- +性质4：同构映射的逆映射，仍然是同构映射。 + + +同构的相关定理： + +定理：同构是一种等价关系。 + +- 反身性，$V$与$V$同构，$T(\alpha)=\alpha$ +- 对称性，$V$与$U$同构，则$U$与$V$同构 +- 传递性，$V$与$U$同构，$U$与$W$同构，则$V$与$W$同构 + +定理：有限维的线性空间$V$与$U$同构的充要条件$dim(V)=dim(U)$，即两个空间维数相同。 + +--- +例子： + +利用坐标向量证明，在$P[t]_2$中多项式 + +$1+2t^2,4+t+5t^2,3+2t$ + +是线性相关的。 + +--- +### 3.3.4 基变换与坐标变换 + +定义： + +设$n$维向量空间$V$的两组基为： + +$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n;B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ + +由于$A$和$B$等价，所以 + + +$$ +\begin{pmatrix} +\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n +\end{pmatrix}K_{n\times n} +=\begin{pmatrix} +\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n +\end{pmatrix} +$$ + +上式称为基变换，矩阵$K$称为由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵，其中$K_{n\times n}$为可逆矩阵。 + +--- +设向量$v$在两组基下的坐标分别为$\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n \end{pmatrix}^T$和$\begin{pmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n \end{pmatrix}^T$ + + +$$ +v=\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n \end{pmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_n \end{bmatrix} +$$ + +$$ +v=\begin{pmatrix}\beta_1&\beta_2&\cdots&\beta_n \end{pmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n \end{bmatrix} +$$ + +--- +$$ +v=\begin{pmatrix} +\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n +\end{pmatrix}K_{n\times n}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n \end{bmatrix} +$$ + + + +由于 $R\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n \end{pmatrix}=n$，所以： + +$$ +\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_n \end{bmatrix}=K_{n\times n}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n \end{bmatrix} +$$ + +--- +坐标变换公式： + + +$$ +\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n \end{bmatrix}=K_{n\times n}^{-1}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_n \end{bmatrix} +$$ + +例子： + +在$P[x]_3$中取两组基： +$\alpha_1=x^3+2x^2-x$ +$\alpha_2=x^3-x^2+x+1$ +$\alpha_3=-x^3+2x^2+x+1$ +$\alpha_4=x^3-x^2+1$ + +--- +及 + +$\beta_1=2x^3+x^2+1$ +$\beta_2=x^2+2x+2$ +$\beta_3=-2x^3+x^2+x+2$ +$\beta_4=x^3+3x^2+x+2$ + +，求坐标变换公式。 + +--- + +==**概念：**== +1. 基变换 +2. 过渡矩阵 +3. 坐标变换公式 diff --git a/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.4 矩阵的零空间，列空间，线性方程组解的结构.md b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.4 矩阵的零空间，列空间，线性方程组解的结构.md new file mode 100644 index 0000000..72e8c6f --- /dev/null +++ b/LinearAlgebra/第03章 向量空间/3.4 矩阵的零空间，列空间，线性方程组解的结构.md @@ -0,0 +1,209 @@ + + +# 第三章 向量空间 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + +## 3.4 矩阵的零空间，列空间，线性方程组解的结构 +- 3.4.1 齐次线性方程组解的结构 +- 3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 +- 3.4.3 秩定理 +- 3.3.4 练习 + +--- +### 3.4.1 齐次线性方程组解的结构 + +齐次线性方程组(1)： + +$$ +\left \{ +\begin{array}{c} +a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\ +a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0 \\ +\cdots\\ +a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 +\end{array} +\right. +$$ + +线性方程组的矩阵表示形式(2)： +$$ +Ax=0 +$$ + +$$ +x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=0 +$$ + +--- + +性质：若$x=\xi_1,x=\xi_2$为(2)的解，则$\xi_1+\xi_2$也是(2)的解。 + +性质：若$x=\xi$为(2)的解，则$k\xi,(k\in R)$也是(2)的解。 + +若$S$表示方程组(1)的全体解的集合，则以上性质为： + +- 若$\xi_1,\xi_2 \in S$，则$\xi_1+\xi_2 \in S$。 +- 若$\xi_1 \in S$，则$k\xi_1 \in S,k\in R$。 + +即$S$是一个向量空间，称为齐次线性方程组(1)的解空间。也称为系数矩阵$A_{m\times n}$的零空间，记作$NulA$。 + +--- + +$$ +NulA=\lbrace x|x\in R^n and Ax=0 \rbrace +$$ + + +==**概念：**== +1. $Ax=0$的解空间 +2. 系数矩阵$A$的零空间$NulA$ + +==**方法论：**== +1. 求$NulA$的基和维数 + + +--- +定理：$n$元齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$的全体解所构成的集合$S$是一个向量空间，当$R(A)=r$时，解空间的维数为$n-r$。 + +注意： + +（1）解空间$S$的基是不唯一的。 + +（2）解空间$S$的基又称为方程组(1)的基础解系。 + +（3）当$R(A)=n$时，方程组(1)只有零解，因而没有基础解系，此时解空间只有一个零向量，为0维的向量空间。 + +--- +（4）当$R(A) + +# 第三章 向量空间 + +##### 马燕鹏，华北电力大学 +##### Github：https://github.com/datawhalechina +##### CSDN：https://lsgogroup.blog.csdn.net + + +--- + +## 3.5 向量的内积和正交阵 +- 3.5.1 向量内积的定义 +- 3.5.2 向量的范数与夹角 +- 3.5.3 向量组的正交性 +- 3.5.4 规范正交基 +- 3.5.5 正交矩阵与正交变换 + +--- +### 3.5.1 向量内积的定义 + +定义：给定向量空间$V$，如果$\forall \alpha,\beta\in V$都有一个实数记为$\langle \alpha,\beta \rangle$ 与其对应，且满足以下条件，则称实数$\langle \alpha,\beta\rangle$为向量$\alpha,\beta$的内积。 + +（1）对称性：$\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\beta,\alpha\rangle$ +（2）齐次性：$\langle\lambda\alpha,\beta\rangle=\lambda\langle\alpha,\beta\rangle$ +（3）线性性：$\langle\alpha+\beta,\gamma\rangle=\langle\alpha,\gamma\rangle+\langle\beta,\gamma\rangle$ +（4）正定性：$\langle\alpha,\alpha\rangle\geq 0$当且仅当$\alpha=0$时，有$\langle\alpha,\alpha\rangle=0$ + +定义了内积的向量空间称为内积空间。 + +--- + +例子： + +$$ +\forall x,y\in R^n, x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}, +y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} +$$ + +$$ +\langle x,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=x^Ty +$$ + +--- +例子： + +（1）证明：$R(A^TA)=R(A)$。 + +（2）证明：$R(AA^T)=R(A^TA)$。 + + +==**概念：**== +1. 向量内积 +2. 内积空间 + +--- +### 3.5.2 向量的范数与夹角 + +向量范数的定义： + +令 $x=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T$ + + +$$ +\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x^Tx}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2} +$$ + +称$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}$为$n$维向量$x$的范数（长度）。 + +--- +令 $y=\begin{pmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T$ + +$$ +\begin{Vmatrix} x-y\end{Vmatrix}=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2} +$$ + + +$x-y$的范数$\begin{Vmatrix} x-y\end{Vmatrix}$称为$x$与$y$的距离。 + +注意： + +（1）$\langle x,x\rangle=\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}^2$ + + +==**概念：**== +1. 向量的范数 +2. 两个向量的距离 + + +--- +向量范数的性质： + +（1）正定性：$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\geq0$当且仅当$x=0$时$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}=0$ + +（2）齐次性：$\begin{Vmatrix} \lambda x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda\end{vmatrix}\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}$ + +（3）三角不等式：$\begin{Vmatrix} x+y\end{Vmatrix}\leq \begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix} +\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}$ + +注意：以上3点为范数应满足的公理。 + + +--- +单位向量的定义： + +若$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}=1$，则称$x$为单位向量。 + +注意： + +（1）若$\forall \alpha\neq 0$，则$e=\frac{\alpha}{\begin{Vmatrix} \alpha\end{Vmatrix}}$为单位向量。 + + +==**概念：**== +1. 向量范数的性质 +2. 单位向量 + +--- +许瓦兹不等式： + + +$$ +\langle x,y \rangle ^2\leq \langle x,x\rangle \langle y,y \rangle +$$ + +当$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\neq 0,\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}\neq 0$时 + + +$$ +\begin{vmatrix} +\frac{\langle x,y \rangle}{\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}} +\end{vmatrix}\leq 1 +$$ + +注意： + +（1）当$\langle x,y \rangle ^2 = \langle x,x\rangle \langle y,y \rangle$时，$x,y$线性相关。 + +--- +向量夹角的概念： + +当$\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\neq 0,\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}\neq 0$时 + + +$$ +\theta=arccos\begin{pmatrix} +\frac{\langle x,y \rangle}{\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}} +\end{pmatrix},0\leq\theta\leq \pi +$$ + +注意： + +（1）零向量的方向是随意的。 + +（2）$\langle x,y \rangle=\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} y\end{Vmatrix}cos\theta$ + +（3）当$\theta=0,\theta=\pi$时，$\langle x,y \rangle ^2 = \langle x,x\rangle \langle y,y \rangle$，即$x,y$平行。 + +--- +==**概念：**== +1. 许瓦兹不等式 +2. 向量的夹角 + +--- + +### 3.5.3 向量组的正交性 + +正交的定义： + +设$x,y$为$n$维向量，当$\langle x,y \rangle=0$时，称$x,y$正交（即$x,y$的夹角为$\frac{\pi}{2}$）。 + +注意： + +（1）若$x=0$，则$x$与任何向量都正交。 + +--- +正交的向量组： + +由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交的向量组。 + +定理：若$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$是一组两两正交的非零向量，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关。（即：正交的向量组线性无关）。 + +--- +正交基的定义： + +用正交的向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。 + +例子： + +（1）$R^3$的正交基 + + +$$ +\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} +$$ + +--- +（2）$R^4$的正交基 + +$$ +\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} +$$ + +$$ +\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} +$$ + +--- +（3）$n$个两两正交的$n$维非零向量，可构成$R^n$的一个正交基。 + + +==**概念：**== +1. 两个向量正交 +2. 正交的向量组 +3. 正交基 + +--- + +### 3.5.4 规范正交基 + +规范正交基的定义： + +设$n$维向量$e_1,e_2,\cdots,e_r$是向量空间$V(V \subset R^n)$的一个基，如果$e_1,e_2,\cdots,e_r$是两两正交的单位向量，则称$e_1,e_2,\cdots,e_r$是向量空间$V$的一个规范正交基。 + + +$$ +\langle e_i,e_j \rangle=\begin{cases} +1, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +--- +例子： + +（1）$R^4$的规范正交基 + +$$ +\begin{pmatrix} +\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\0 +\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix} +\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\0\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} +\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}} +\end{pmatrix} +$$ + +--- + +向量坐标： + +设$e_1,e_2,\cdots,e_r$是$V$的一个规范正交基，则$\forall \alpha \in V$ + +$$ +\alpha=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\cdots+\lambda_re_r +$$ + +向量坐标的求法：求$\alpha$在$e_i$轴上的投影。 + + +$$ +\langle\alpha,e_i \rangle=\lambda_i\langle e_i,e_i \rangle=\lambda_i,i=1,2,\cdots,r +$$ + +$$ +\langle\alpha,e_i \rangle=\begin{Vmatrix}\alpha\end{Vmatrix}cos\theta=\lambda_i,i=1,2,\cdots,r +$$ + + +--- +==**概念：**== +1. 规范正交基 +2. 向量坐标 + + +==**方法论：**== +1. 规范正交基下，向量坐标的求法。 + + +--- +正交投影与最小二乘： + +给定$R^n$的子空间$W$与向量$x$，若$x$与$W$中任意向量都正交，则称$x$正交于$W$，记作$x\perp W$。 + +与$W$正交的向量的全体组成的集合称为$W$的正交补，记作$W^{\perp}$，即$W^{\perp}=\lbrace x\in R^n|x\perp W \rbrace$。 + +--- +例子： + +（1）若$A_{m\times n}x=0$，则$RowA^{\perp} = NulA$。 + + +$$ +\begin{pmatrix}\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_m^T \end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix},\langle \alpha_1^T,x \rangle=0,\cdots,\langle \alpha_m^T,x \rangle=0 +$$ + +$\forall x \in RowA^{\perp} \Rightarrow x\in NulA \Rightarrow RowA^{\perp} \subset NulA$ +$\forall x \in NulA \Rightarrow x\in RowA^{\perp} \Rightarrow NulA \subset RowA^{\perp}$ + +$RowA^{\perp} = NulA$ + +--- + +正交投影定理： + +若$W$为$R^n$的非零子空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$为$W$的一组正交基，则$\forall b \in R^n,\exists$唯一的分解$b=p+z$。 + +其中，$p\in W,z\in W^{\perp}$且对$\forall y\in W,y\neq p$有$\begin{Vmatrix}b-y\end{Vmatrix}>\begin{Vmatrix}b-p\end{Vmatrix}$。 + +$$ +p=\frac{\langle b,\alpha_1 \rangle}{\langle \alpha_1,\alpha_1 \rangle}\alpha_1+\frac{\langle b,\alpha_2 \rangle}{\langle \alpha_2,\alpha_2 \rangle}\alpha_2+\cdots+\frac{\langle b,\alpha_p \rangle}{\langle \alpha_p,\alpha_p \rangle}\alpha_p +$$ + +$p$称为$b$在$W$上的正交投影，记作$P_{W}b$。 + +--- +最小二乘原理： + +若 $b\notin ColA$，即$Ax=b$无解。 + +寻找$b$在$ColA$上的正交投影$p$，使得$A\overline{x}=p$，则$\overline{x}$可作为$Ax=b$的近似解。 + + +$\because e=b-p$ + +$A^Te=A^T(b-A\overline{x})=0 \Rightarrow \overline{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb$ + +$\because R(A^TA)=R(A)$ +$\therefore$只要$A$的列向量组线性无关，上式即成立。 + + +--- +例子： + +（1）已知平面上有3个点$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$，用一条直线$y=kx+b$对其进行拟合。 + +（2）在形如$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3$的向量中，找出最接近$b$的向量$\alpha$，其中 + + +$$ +\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\\-2\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\1\end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}4\\3\\3\\1\end{pmatrix} +$$ + +--- +==**概念：**== +1. 正交补 +2. 正交投影 + + +==**方法论：**== +1. 最小二乘法 + + +--- +施密特正交化： + +设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$是向量空间$V$的一个基。 + +$b_1=\alpha_1,e_1=\frac{b_1}{\begin{Vmatrix}b_1\end{Vmatrix}}$ +$b_2=\alpha_2-\langle \alpha_1,e_1\rangle e_1,e_2=\frac{b_2}{\begin{Vmatrix}b_2\end{Vmatrix}}$ +$b_3=\alpha_3-\langle \alpha_3,e_1\rangle e_1-\langle \alpha_3,e_2\rangle e_2,e_3=\frac{b_3}{\begin{Vmatrix}b_3\end{Vmatrix}}$ +$\cdots$ +$b_r=\alpha_r-\langle \alpha_r,e_1\rangle e_1-\cdots\langle \alpha_r,e_{r-1}\rangle e_{r-1},e_{r}=\frac{b_{r}}{\begin{Vmatrix}b_{r}\end{Vmatrix}}$ + +可见，$e_1,e_2,\cdots,e_r$为两两正交的单位向量。 + +--- + +$\alpha_1=\begin{Vmatrix}b_1\end{Vmatrix}e_1$ +$\alpha_2=\begin{Vmatrix}b_2\end{Vmatrix}e_2+\langle \alpha_2,e_1\rangle e_1$ +$\alpha_3=\begin{Vmatrix}b_3\end{Vmatrix}e_3+\langle \alpha_3,e_1\rangle e_1+\langle \alpha_3,e_2\rangle e_2$ +$\cdots$ +$\alpha_r=\begin{Vmatrix}b_r\end{Vmatrix}e_r+\langle \alpha_r,e_1\rangle e_1+\cdots+\langle \alpha_{r},e_{r-1}\rangle e_{r-1}$ + + +
+
+ +可见，$e_1,e_2,\cdots,e_r$与$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$等价，故$e_1,e_2,\cdots,e_r$是$V$的规范正交基。 + +--- +例子： + +（1）试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 + +$$ +\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}, +\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix} +$$ + +（2）已知$\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，求非零向量$\alpha_1,\alpha_2$使$\alpha_3$与$\alpha_1,\alpha_2$正交，并把它们化成$R^3$的规范正交基。 + +--- + +$QR$分解： + +若$A_{m\times n}$列向量线性无关，则 + + +$$ +A_{m\times n}=Q_{m\times n}R_{n\times n} +$$ + +- $Q$的列向量是$ColA$的规范正交基。 +- $R$为上三角形，可逆矩阵，对角线元素全为正数。 + +--- +$QR$分解的应用： + +若$Ax=b$，$A$的列向量线性无关。 + +$$ +A\overline{x}=b,\overline{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb +$$ + +$\overline{x}$为$Ax=b$的最小二乘解。 + +定理： + +若$A=QR$，则$R\overline{x}=Q^Tb$。 + +--- + +**方法论：** +- 施密特规范正交化 +- 矩阵的$QR$分解 +- 利用$QR$分解求$Ax=b$的最小二乘解 + + +--- +### 3.5.5 正交矩阵与正交变换 + +正交矩阵： + +若$A_{n\times n}^TA=E,A^T=A^{-1}$，则称$A$为正交矩阵。 + +若$A_{n\times n}=\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix},A^TA=E$，则 + + +$$ +\begin{pmatrix}\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_n^T\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix} +=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix} +$$ + + +--- +$$ +\alpha_i^T\alpha_j=\begin{cases} +1, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +说明： + +$A_{n\times n}$正交 +- $\Leftrightarrow A$的列向量是两两正交的单位向量。 + +--- +若$A_{n\times n}=\begin{pmatrix}\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_n^T\end{pmatrix},AA^T=E$，则 + + +$$ +\begin{pmatrix}\alpha_1^T\\\alpha_2^T\\\vdots\\\alpha_n^T\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix} +=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix} +$$ + +--- + +$$ +\alpha_i^T\alpha_j=\begin{cases} +1, & i=j\\ +0, & i\neq j +\end{cases} +$$ + +说明： + +$A_{n\times n}$正交 +- $\Leftrightarrow A$的行向量是两两正交的单位向量。 + +--- +例子： + +（1）设$e_1,e_2,\cdots,e_n$是$R^n$的一个规范正交基，$A$为正交矩阵。试证$Ae_1,Ae_2,\cdots,Ae_n$也是$R^n$的一个规范正交基。 + +==**概念**：== +1. 正交矩阵 + +--- + +线性变换： + +设$V_n,V_m$分别是$n$维和$m$维的向量空间，$T$是一个从$V_n$到$V_m$的映射，如果$T$满足： +- $\forall \alpha_1,\alpha_2\in V_n,T(\alpha_1+\alpha_2)=T(\alpha_1)+T(\alpha_2)$ +- $\forall \alpha \in V_n,k\in R,T(k\alpha)=k T(\alpha)$ + +那么，称$T$为从$V_n$到$V_m$的线性映射或线性变换。 + +例子： + +（1）$y_{m\times 1}=A_{m\times n}x_{n\times 1}$，$V_n\rightarrow V_m$的线性变换。 + + +--- +正交变换： + +$y=Ax$，$A$可逆，可逆变换。 + +$y=Ax$，$A$正交，正交变换。 + +性质：经过正交变换向量的范数保持不变。 + +$$ +\begin{Vmatrix}y\end{Vmatrix}=\sqrt{x^TA^TAx}=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix} +$$ + +例子： + + +$$ +y=\begin{bmatrix} +cos\phi & -sin\phi\\ +sin\phi & cos\phi +\end{bmatrix}x +$$ + +--- + +==**概念**：== +1. 线性变换 +2. 可逆变换 +3. 正交变换 diff --git a/readme.md b/readme.md index 099ee61..a05353a 100644 --- a/readme.md +++ b/readme.md @@ -5,6 +5,7 @@ 主要包括： - [概率统计](https://github.com/datawhalechina/team-learning-data-mining/tree/master/ProbabilityStatistics) +- [线性代数](https://github.com/datawhalechina/team-learning-data-mining/tree/master/LinearAlgebra) - [集成学习](https://github.com/datawhalechina/team-learning-data-mining/tree/master/EnsembleLearning) - [AI入门体验](https://github.com/datawhalechina/team-learning-data-mining/tree/master/IntroductionExperienceAI) - [神经网络基础](https://github.com/datawhalechina/team-learning-data-mining/tree/master/NeuralNetwork) diff --git a/wisdomOcean/Task2 数据分析.ipynb b/wisdomOcean/Task2 数据分析.ipynb index 6adc634..d44d33b 100644 --- a/wisdomOcean/Task2 数据分析.ipynb +++ b/wisdomOcean/Task2 数据分析.ipynb @@ -52,10 +52,12 @@ "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ - "1. 学习如何对数据集整体概况进行进行分析，包括数据集的基本情况(缺失值、异常值)\n", + "1. 学习如何对数据集整体概况进行分析，包括数据集的基本情况(缺失值、异常值)\n", + "\n", "\n", "2. 学习了解变量之间的相互关系、变量与预测值之间的存在关系。\n", "\n", + "\n", "3. 完成相应学习打卡任务" ] }, @@ -1540,6 +1542,20 @@ "6. 通过对不同类别的方向数据分布可视化，发现方向的区分性不是特别强。" ] }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "## 作业:" + ] + }, + { + "cell_type": "markdown", + "metadata": {}, + "source": [ + "1. 使用seaborn中的heatmap画出不同作业类型的渔船速度分位数热力图。" + ] + }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, @@ -1556,7 +1572,6 @@ } ], "metadata": { - 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